Phép chiếu vuông góc của điểm, đoạn thẳng lên mặt phẳng — Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu về phép chiếu vuông góc trong hình học không gian

Phép chiếu vuông góc là một trong những kiến thức quan trọng bậc nhất của chương trình hình học lớp 11, đặc biệt trong chương “Quan hệ vuông góc trong không gian”. Nhờ phép chiếu vuông góc, chúng ta có thể hình thành các đoạn thẳng, điểm, xác định góc, tính khoảng cách một cách chính xác giữa các đối tượng trong không gian ba chiều, từ đó ứng dụng vào thực tế cũng như các bài toán khó trong kiểm tra, thi cử và các kì thi lớn như THPT Quốc gia.

Việc học tốt khái niệm phép chiếu vuông góc của điểm, đoạn thẳng lên mặt phẳng sẽ giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài toán về khoảng cách, góc, dựng hình trong không gian và tạo nền móng vững chắc cho các chương trình toán học cấp cao hơn.

2. Định nghĩa phép chiếu vuông góc của điểm, đoạn thẳng lên mặt phẳng

• Phép chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng: Cho mặt phẳng$(P)$và điểm$A$không nằm trong$(P)$.Phép chiếu vuông góc của$A$lên$(P)$là điểm$H$trên$(P)$sao cho đường thẳng$AH$vuông góc với$(P)$tại$H$. Hay$H$là hình chiếu vuông góc của$A$lên mặt phẳng$(P)$.

• Phép chiếu vuông góc của đoạn thẳng lên mặt phẳng: Cho đoạn thẳng$AB$không song song và không nằm trên mặt phẳng$(P)$.Phép chiếu vuông góc của$AB$lên$(P)$là đoạn$A'B'$sao cho$A'$và $B'$lần lượt là hình chiếu vuông góc của$A$và $B$trên$(P)$.

3. Cách xác định phép chiếu vuông góc – Ví dụ minh họa

3.1. Chiếu điểm lên mặt phẳng

Để xác định phép chiếu vuông góc của điểm$A$lên mặt phẳng$(P)$, ta thực hiện như sau:

Bước 1: Qua$A$dựng đường thẳng$d$vuông góc với$(P)$(tức$d \perp (P)$và đi qua$A$).

Bước 2: Gọi$H = d \cap (P)$. Khi đó $H$là hình chiếu vuông góc của$A$lên$(P)$.

Ví dụ 1: Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm$A'$lên mặt phẳng$(ABCD)$.

Giải: Trong hình lập phương, đường thẳng$A'A$vuông góc với mặt đáy$(ABCD)$và đi qua$A'$. Vậy hình chiếu vuông góc của$A'$lên$(ABCD)$chính là $A$.

3.2. Chiếu đoạn thẳng lên mặt phẳng

Để xác định phép chiếu vuông góc của đoạn$AB$lên mặt phẳng$(P)$:

Bước 1: Lần lượt xác định hình chiếu vuông góc$A'$của$A$và $B'$của$B$lên$(P)$như trên.

Bước 2: Đoạn$A'B'$chính là hình chiếu vuông góc của$AB$lên$(P)$.

Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật$ABCD.A'B'C'D'$có $AB = a$,$AD = b$,$AA' = h$. Tìm hình chiếu vuông góc của đoạn$A'B'$lên mặt phẳng$(ABCD)$.

Giải: Hình chiếu$A'$của$A'$lên$(ABCD)$là $A$, hình chiếu$B'$của$B'$là $B$. Vậy hình chiếu vuông góc của đoạn$A'B'$lên mặt đáy là đoạn$AB$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu điểm$A$ đã nằm trên mặt phẳng$(P)$, hình chiếu vuông góc của$A$lên$(P)$chính là $A$.

- Đoạn thẳng$AB$song song (hoặc nằm trên) mặt phẳng$(P)$, thì hình chiếu vuông góc của$AB$lên$(P)$là chính đoạn$AB$(hoặc là đoạn thẳng đồng dạng với$AB$trên mặt phẳng$(P)$).

- Đoạn$AB$vuông góc với mặt phẳng$(P)$, hình chiếu vuông góc là điểm (hai hình chiếu trùng nhau).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phép chiếu vuông góc giúp xác định:

• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Là độ dài đoạn nối từ điểm đến hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Sử dụng một mặt phẳng phụ hợp để chiếu vuông góc.
• Xác định vị trí tương đối, tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Dựng các hình khối, hình chiếu trong bài toán thực tế và hình học không gian.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài 1: Cho điểm$A(1,2,3)$và mặt phẳng$(P): x + 2y + 2z - 6 = 0$. Tìm hình chiếu vuông góc của$A$lên$(P)$.

Lời giải:

Giả sử hình chiếu vuông góc$H(x_0, y_0, z_0)$. Đường thẳng$d$qua$A$và vuông góc với$(P)$có véc-tơ chỉ phương là $\vec{n} = (1, 2, 2)$, phương trình tham số:

Ta thay vào phương trình mặt phẳng:
$<br />(1 + t) + 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t) - 6 = 0<br />$
$<br />1 + t + 4 + 4t + 6 + 4t - 6 = 0<br />$
$<br />(1 + 4 + 6 - 6) + (t + 4t + 4t) = 0<br />$
$<br />5 + 9t = 0 \Rightarrow t = -\frac{5}{9}<br />$

Vậy toạ độ hình chiếu$H$là:

Bài 2: Cho tứ diện$ABCD$, biết cạnh$AB = a$,$AC = b$,$AD = c$ đôi một vuông góc tại$A$. Xác định hình chiếu vuông góc của đoạn$CD$lên mặt phẳng$(ABC)$.

Lời giải:

- Vì $(AB), (AC), (AD)$ đôi một vuông góc tại$A$, nên ta chọn hệ tọa độ $A(0,0,0), B(a,0,0), C(0,b,0), D(0,0,c)$.

- Mặt phẳng$(ABC): z = 0$.

- Hình chiếu$C'$của$C$lên$(ABC)$là $C(0, b, 0)$(vẫn là chính nó do$z=0$). Hình chiếu$D'$của$D(0, 0, c)$lên$(ABC)$là $D'(0, 0, 0) = A$.

- Vậy hình chiếu vuông góc của đoạn$CD$lên$(ABC)$là đoạn$C'A = AC$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Không xác định đúng phương vuông góc: Khi xác định hình chiếu vuông góc, luôn phải đảm bảo đường thẳng (hoặc véc-tơ) nối từ điểm đến mặt phẳng phải vuông góc mặt phẳng đó.
• Nhầm lẫn giữa phép chiếu vuông góc và phép chiếu song song: Chỉ dùng chiếu vuông góc khi yêu cầu vuông góc với mặt phẳng.
• Quên xác định các điểm đặc biệt: Có trường hợp điểm đã nằm trên mặt phẳng thì hình chiếu là chính nó.
• Không dựng hình hoặc không sử dụng tọa độ khi cần thiết: Một số bài nên dùng tọa độ để tránh nhầm lẫn hình học.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Phép chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng là điểm trên mặt phẳng sao cho nối điểm này với điểm gốc được đường vuông góc mặt phẳng.

- Phép chiếu vuông góc của đoạn thẳng lên mặt phẳng là đoạn thẳng nối hai hình chiếu vuông góc của hai đầu đoạn thẳng lên mặt phẳng.

- Phép chiếu vuông góc giúp giải các bài toán hình học không gian: tìm khoảng cách, tính góc, dựng hình.

- Khi xác định hình chiếu vuông góc nên sử dụng phương pháp tọa độ nếu có thể để tránh nhầm lẫn.