Blog

Lớp 11

Sử Dụng Công Thức Cộng, Trừ, Nhân Đôi Trong Lượng Giác Lớp 11: Hướng Dẫn Toàn Diện Cho Học Sinh

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về công thức cộng, trừ, nhân đôi và tầm quan trọng

Các công thức cộng, trừ, nhân đôi trong lượng giác là kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 11. Đây là nhóm công thức giúp học sinh giải quyết các dạng bài về biến đổi biểu thức và giải phương trình lượng giác, đồng thời là công cụ hỗ trợ thiết yếu trong học tập đại số, giải tích, vật lý và nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác. Nắm vững những công thức này giúp học sinh phát triển kỹ năng giải toán, tư duy logic và chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa và phát biểu chính xác

a. Công thức cộng và trừ trong lượng giác là các hệ thức cho phép tính sin⁡\sin, cos⁡\cos, tan⁡\tan của tổng hoặc hiệu hai góc dựa vào giá trị lượng giác của từng góc thành phần:

• Sin của tổng và hiệu:

\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b

• Cosin của tổng và hiệu:

\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b

• Tang của tổng và hiệu:

\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}

b. Công thức nhân đôi là các hệ thức lượng giác dùng để tính giá trị lượng giác của góc gấp đôi một góc đã biết:

• Sin nhân đôi:

\sin 2a = 2 \sin a \cos a

• Cosin nhân đôi:

\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a

• Tang nhân đôi:

\tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}

3. Giải thích từng công thức với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính sin⁡(75∘)\sin(75^\circ) dựa trên các giá trị đặc biệt.

Ta có:75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ.

\begin{align*} \sin 75^\circ &= \sin(45^\circ + 30^\circ) \\ &= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \end{align*}

Ví dụ 2: Tínhcos⁡(15∘)\cos(15^\circ)bằng công thứccos⁡\coscủa hiệu hai góc.

\begin{align*} \cos(15^\circ) &= \cos(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{align*}

Ví dụ 3: Tính sin⁡2a\sin 2akhi biếtsin⁡a=35\sin a = \frac{3}{5}và aa ở góc phần tư thứ nhất.

Điều kiện: aathuộc góc phần tư thứ nhất nênsin⁡a>0\sin a > 0, cos⁡a>0\cos a > 0.

\cos a = \sqrt{1-\sin^2 a} = \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}
\sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • • Khi áp dụng công thức tổng – hiệu, cần chú ý dấu (+) hoặc (–) ở từng vị trí.
  • • Đối với công thức tang của tổng – hiệu, mẫu số phải khác 0, tức là 1∓tan⁡atan⁡b<br>≠01 \mp \tan a \tan b <br> \neq 0.
  • • Đối với công thức nhân đôitan⁡2a=2tan⁡a1−tan⁡2a\tan 2a = \frac{2\tan a}{1-\tan^2 a}, điều kiện xác định là tan⁡2a<br>≠1\tan^2 a <br> \neq 1.
  • • Luôn xác định góca,ba, bthuộc góc phần tư nào để chọn đúng dấu của sin, cos, tan.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Các công thức này là nền tảng để xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích, và các dạng phương trình lượng giác.
• Được sử dụng rộng rãi trong giải tích (đặc biệt là tích phân, đạo hàm hàm lượng giác).
• Ứng dụng trong vật lý (dao động điều hòa, sóng cơ, điện xoay chiều…) và kỹ thuật.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1:

Tính sin⁡(105∘)\sin(105^\circ) bằng công thức cộng.

Gợi ý:105∘=60∘+45∘105^\circ = 60^\circ + 45^\circ.

\begin{align*} \sin(105^\circ) &= \sin(60^\circ + 45^\circ) \\ &= \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \end{align*}

Bài tập 2:

Giải phương trình lượng giác: sin⁡2x=3cos⁡2x\sin 2x = \sqrt{3} \cos 2x, x∈[0;π]x \in [0; \pi]

\tan 2x = \sqrt{3} \implies 2x = \arctan (\sqrt{3}) + k\pi = \frac{\pi}{3} + k\pi \ \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \ 0 \leq x \leq \pi \ \text{Ta có:} \begin{cases} k = 0 \to x = \frac{\pi}{6} \\ k = 1 \to x = \frac{2}{2}\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \end{cases}\Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}

Bài tập 3:

Cho sin⁡a=−35\sin a = -\frac{3}{5}và aathuộc góc phần tư thứ ba. Tínhcos⁡2a\cos 2avà tan⁡2a\tan 2a.

\cos a = -\sqrt{1-\sin^2 a} = -\sqrt{1-\frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}
\cos 2a = 2 \cos^2 a - 1 = 2 \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{16}{25} - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{7}{25}
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4} \\ \tan 2a = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{6}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{6}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{6}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{24}{7}

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • • Nhầm lẫn dấu +, - trong công thức tổng – hiệu.
  • • Không kiểm tra điều kiện xác định (mẫu số bằng 0 trong công thức tang).
  • • Sai dấu của các giá trị lượng giác khi không xác định đúng góc phần tư.
  • • Quên rút gọn và chuyển đổi giữa các dạng giá trị đặc biệt (rad và độ, hoặc giá trị đặc biệt của lượng giác).

8. Tóm tắt: Những điểm chính cần nhớ

  • • Ghi nhớ thuộc lòng chính xác các công thức cộng, trừ, nhân đôi cho các hàm sin, cos, tan.
  • • Khi áp dụng công thức cần xác định rõ góc phần tư để lấy đúng dấu lượng giác.
  • • Ứng dụng công thức linh hoạt để giải bài toán biến đổi biểu thức và giải phương trình lượng giác.
  • • Tận dụng bảng giá trị lượng giác đặc biệt để tính giá trị cụ thể khi cần thiết.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Bài trước

Giải thích chi tiết về khái niệm toán học cot cho học sinh lớp 11

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".