Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân đôi trong lượng giác – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, "Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân đôi" là một trong những nội dung trọng tâm thuộc phần Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Đây là các công thức giúp ta biến đổi, rút gọn biểu thức lượng giác, giải phương trình hoặc chứng minh các đẳng thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.

Hiểu rõ và thành thạo các công thức này sẽ giúp học sinh tiết kiệm thời gian làm bài, đồng thời nâng cao tư duy toán học và khả năng giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Trên thực tế, các công thức này còn giúp giải quyết các bài toán thực tiễn liên quan đến vật lý, kỹ thuật, công nghệ thông tin,... Ngoài ra, bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập về Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân đôi ngay trên trang này.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Các công thức cộng, trừ, nhân đôi là những công thức lượng giác cơ bản dùng để biến đổi các biểu thức lượng giác gồm các góc liên quan như tổng, hiệu hoặc bội của một góc. Để áp dụng chính xác, học sinh cần nắm vững:

• Định nghĩa: Công thức thể hiện giá trị các hàm lượng giác của tổng, hiệu hoặc bội số của một góc theo các hàm số lượng giác của các góc nhỏ hơn.
• Điều kiện áp dụng: Các góc tính bằng độ hoặc radian, giá trị các hàm được xác định trên tập xác định tương ứng.
• Giới hạn: Chỉ áp dụng với hàm sin, cos, tan, cot cho các giá trị tương ứng.

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức cần thuộc lòng:

• Công thức cộng góc:

• $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$

• $\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$

•$\tan(a \pm b) = \dfrac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$

• Công thức nhân đôi:

• $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$

• $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2 \cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$

•$\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$

Cách ghi nhớ: Có thể học thuộc bằng cách viết công thức nhiều lần, sử dụng sơ đồ tư duy hoặc áp dụng vào các bài toán cụ thể để tạo thói quen.

Lưu ý điều kiện sử dụng: Cần kiểm tra mẫu số khác 0 khi sử dụng các công thức có dạng phân số (ví dụ:$1 - \tan a \tan b \neq 0$với công thức cộng tan,$1 - \tan^2 a \neq 0$với công thức nhân đôi tan).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Tính $\sin 75^\circ$.

Lời giải từng bước:

1. Viết$75^\circ$dưới dạng tổng hai góc đặc biệt:$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.
2. Áp dụng công thức: $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$.
3. Thay số: $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$; $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$; $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Kết quả: $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Lưu ý: Nên chọn những góc đặc biệt để sử dụng công thức một cách thuận tiện.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Giải phương trình $\sin 2x = \cos x$trên đoạn$[0, 2\pi]$.

1. Sử dụng công thức nhân đôi: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
2. Phương trình trở thành: $2 \sin x \cos x = \cos x$.
3. Chuyển vế: $2 \sin x \cos x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x (2 \sin x - 1) = 0$.
4. Giải hai trường hợp:
   a) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}$
   b) $2 \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6}; \dfrac{5\pi}{6}$.

Vậy nghiệm của phương trình:$x = \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}; \dfrac{\pi}{6}; \dfrac{5\pi}{6}$.

4. Các trường hợp đặc biệt

Lưu ý khi sử dụng công thức cộng/trừ với các góc đặc biệt như $0$,$90^\circ$,$180^\circ$, giá trị sẽ đơn giản hóa mạnh. Khi mẫu số bằng$0$(như $\tan 90^\circ$,$\tan 180^\circ$), cần dừng lại hoặc biến đổi sang công thức khác. Hãy liên hệ với các kiến thức biến đổi biểu thức lượng giác và phương trình lượng giác để chọn hướng giải thích hợp.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu sai dấu "+" hoặc "-" trong công thức cộng/trừ.
• Nhầm lẫn giữa các công thức lượng giác khác nhau.
• Không phân biệt công thức áp dụng cho sin, cos, tan.

Cách phân biệt: Ghi nhớ bảng công thức, luyện tập nhiều dạng bài để nhận diện và sử dụng đúng công thức phù hợp.

5.2 Lỗi về tính toán

• Tính sai giá trị các hằng số $\sin 30^\circ$, $\cos 45^\circ$, v.v.
• Quên điều kiện mẫu số khác 0.
• Ghi chép sai công thức.

Phương pháp kiểm tra kết quả: Sau khi giải, thử thay vào công thức ban đầu và đối chiếu với bảng giá trị lượng giác chuẩn để kiểm tra đáp án.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Hãy truy cập ngay bộ 42.226+ bài tập Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân đôi miễn phí. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập và theo dõi tiến độ học tập cũng như cải thiện kỹ năng làm toán của mình một cách dễ dàng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Các công thức cộng, trừ, nhân đôi là nền tảng để biến đổi biểu thức và giải các bài toán lượng giác.
• Nhớ rõ điều kiện áp dụng từng công thức và kỹ thuật biến đổi linh hoạt.
• Ôn tập thường xuyên qua thực hành bài tập để tránh lỗi sai không đáng có.

Checklist trước khi làm bài:

• Đã ghi nhớ bảng công thức?
• Xác định rõ điều kiện áp dụng của từng công thức?
• Cẩn thận khi thay số và tính toán!

Hãy lên kế hoạch ôn luyện hiệu quả, tập trung vào thực hành và tra cứu lại lý thuyết khi cần. Việc học Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân đôi miễn phí sẽ giúp bạn chủ động, tự tin, sẵn sàng chinh phục mọi dạng bài lượng giác lớp 11!