Sử dụng công thức nhân xác suất – Kiến thức trọng tâm Toán 11

1. Giới thiệu về công thức nhân xác suất

Trong chương trình Toán 11, chủ đề Xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc giúp học sinh hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến sự kiện ngẫu nhiên. Một trong những kỹ năng cơ bản và nền tảng nhất là "Sử dụng công thức nhân xác suất" để tính xác suất đồng thời xảy ra của hai hay nhiều biến cố. Kiến thức này không chỉ cần thiết cho việc học tập trên lớp, làm bài kiểm tra mà còn là nền tảng cho các phần sau như xác suất có điều kiện, biến cố độc lập và cả các kỳ thi THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa công thức nhân xác suất

Công thức nhân xác suất là quy tắc giúp tính xác suất để hai sự kiện (biến cố) A và B đồng thời xảy ra. Định nghĩa tổng quát như sau:

Ở đây,$P(B|A)$là xác suất của biến cố $B$khi biết rằng$A$ đã xảy ra (xác suất có điều kiện). Tuy nhiên, nếu$A$và $B$là hai biến cố độc lập (nghĩa là việc xảy ra của$A$không ảnh hưởng đến việc xảy ra của$B$) thì $P(B|A) = P(B)$. Khi đó, công thức đơn giản hơn:

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy cùng tìm hiểu cách áp dụng công thức này thông qua một ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1: Tung hai đồng xu đồng thời

- Đề bài: Tung hai đồng xu cùng một lúc. Tính xác suất để cả hai đồng xu đều xuất hiện mặt sấp.

- Giải:Gọi$A$là biến cố "Đồng xu thứ nhất ra sấp",$P(A) = \frac{1}{2}$.
Gọi$B$là biến cố "Đồng xu thứ hai ra sấp",$P(B) = \frac{1}{2}$.
Đồng xu được tung độc lập, nên$A$và $B$là hai biến cố độc lập.

Áp dụng công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập:

Vậy xác suất để cả hai đồng xu đều xuất hiện mặt sấp là $\frac{1}{4}$.

Ví dụ 2: Rút bài từ túi

- Đề bài: Trong túi có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Rút lần lượt 2 bi không hoàn lại. Tính xác suất để rút được một bi đỏ rồi một bi xanh.

- Giải:Gọi$A$: "Lần đầu rút được bi đỏ". Khi đó $P(A) = \frac{5}{8}$.
Sau khi rút một bi đỏ đi, trong túi còn 4 đỏ và 3 xanh, tổng cộng 7 bi.
Gọi$B$: "Lần hai rút được bi xanh" khi biết lần đầu đã rút đỏ,$P(B|A) = \frac{3}{7}$.

Áp dụng công thức nhân xác suất:

Vậy xác suất để lần lượt rút được một bi đỏ rồi một bi xanh là $\frac{15}{56}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

a) Khi các biến cố độc lập: Có thể nhân$P(A)$và $P(B)$trực tiếp.
b) Khi các biến cố không độc lập: Phải xác định xác suất có điều kiện$P(B|A)$.
c) Các biến cố không thể đồng thời xảy ra (hai biến cố loại trừ nhau hoàn toàn):$P(A \cap B) = 0$.
d) Khi liên quan đến nhiều hơn 2 biến cố: Áp dụng mở rộng công thức:
$P(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1 \cap A_2)\ldots$

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Công thức nhân xác suất liên quan chặt chẽ với các khái niệm sau:
- Xác suất có điều kiện: Là thành phần quan trọng trong nhiều bài toán xác suất nâng cao.
- Biến cố độc lập: Hiểu rõ tính độc lập giúp vận dụng đúng công thức.
- Quy tắc cộng xác suất: Dùng để tính xác suất ít nhất một trong nhiều biến cố xảy ra.
- Quy tắc nhân số trường hợp: Ứng dụng song song với quy tắc nhân xác suất trong đếm các trường hợp.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Một hộp có 4 thẻ ghi số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ, không hoàn lại, lần lượt từng thẻ. Tính xác suất lấy được lần lượt thẻ ghi số chẵn rồi thẻ ghi số lẻ.

- Lời giải:

Các số chẵn: 2, 4 (2 thẻ). Các số lẻ: 1, 3 (2 thẻ).

P(A): Lần 1 lấy số chẵn:$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Sau khi lấy 1 thẻ chẵn còn 3 thẻ (1 chẵn, 2 lẻ). P(B|A): Lần 2 lấy số lẻ:$\frac{2}{3}$.

Xác suất lấy lần lượt 1 thẻ chẵn rồi 1 thẻ lẻ:

Bài tập 2: Nor gần sát học khó hơn: Tung 3 con xúc xắc cân đối, tính xác suất cả ba mặt đều là số lẻ.

- Lời giải:

Xúc xắc cân đối, mỗi mặt đều có xác suất xuất hiện$\frac{1}{6}$. Số mặt lẻ là 1, 3, 5 (3 mặt/6 mặt). Xác suất một con ra mặt lẻ:$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Vì các xúc xắc độc lập, xác suất cả ba con đều ra mặt lẻ:

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa xác suất$P(B)$và $P(B|A)$trong trường hợp các phép thử không độc lập. Hãy luôn xác định rõ biến cố và các dữ kiện đã xảy ra.
- Dùng công thức cho trường hợp biến cố loại trừ nhau (không nên), vì khi đó $P(A \cap B) = 0$.
- Quên cập nhật không gian mẫu sau mỗi hành động (ví dụ: rút bi không hoàn lại).
- Hiểu nhầm "độc lập" là "không ảnh hưởng đến kết quả" – nhưng cần kiểm tra kỹ dựa vào đề bài.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Công thức nhân xác suất là:$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$, riêng với biến cố độc lập:$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• Tìm hiểu kỹ việc phân biệt 'độc lập' và 'không độc lập', xác định đúng biến cố và cập nhật kết quả theo từng bước.
• Đọc kỹ đầu bài để nhận biết đâu là xác suất có điều kiện, đâu là xác suất thông thường.
• Tránh nhầm lẫn khi tính xác suất rút không hoàn lại hoặc xác suất cho các biến cố loại trừ nhau.
• Rèn luyện bằng nhiều bài tập thực tế để thành thạo áp dụng công thức nhân xác suất.