1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Khái niệm 'Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân' là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, thuộc Chương II về Dãy số, đặc biệt là bài học về Cấp số nhân (CSN). Việc hiểu rõ số hạng tổng quát giúp học sinh dễ dàng giải các bài toán về dãy số, xác định một số hạng bất kì trong dãy, hoặc tính tổng các số hạng của dãy. Đây còn là nền tảng cho nhiều dạng toán khó ở cấp học cao hơn cũng như trong thi cử.
Ngoài ra, cấp số nhân còn có rất nhiều ứng dụng thực tế như: tính lãi kép trong ngân hàng, dự đoán sự phát triển dân số, hay trong các mô hình tăng trưởng kinh tế. Hiểu được số hạng tổng quát giúp bạn ứng dụng toán học hiệu quả vào đời sống.
Bạn có thể luyện tập 36.574+ bài tập Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân miễn phí ngay tại đây!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Một dãy số $(u_n)$được gọi là cấp số nhân (CSN) nếu tồn tại hằng số$q <br>e 0$sao cho$u_{n+1} = u_n \cdot q$với mọi n.
- Số hạng đầu tiên$(u_1)$: Số hạng đứng ở vị trí đầu tiên của dãy.
- Công bội$(q)$: Tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp (khác 0).

- Tính chất chính:
+ Mỗi số hạng (từ hạng hai trở đi) được xác định duy nhất bởi số hạng trước đó nhân với công bội.
+ Nếu$q>1$: dãy tăng nhanh. Nếu$0<q<1$: dãy giảm dần.
+ Không có số hạng nào bằng 0 (vì nếu có, toàn bộ dãy về sau cũng bằng 0).

- Điều kiện áp dụng:
+ Số hạng đầu$u_1 <br>e 0$
+ Công bội$q <br>e 0$

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức tổng quát:
Số hạng tổng quát của cấp số nhân được xác định bởi công thức:
$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$

- Ghi nhớ công thức:
+ Luôn nhớ vị trí n:$u_1$là số hạng đầu,$u_n$là số hạng ở vị trí $n$.
+ Số mũ $n-1$thể hiện số lần nhân công bội từ số hạng đầu đến số hạng$n$.

- Biến thể công thức:
Nếu biết số hạng$u_k$bất kỳ, có thể dùng:
$u_n = u_k \cdot q^{n-k}$
Trong đó,$k<n$.

- Điều kiện áp dụng:
+ Phải xác định đúng$u_1$và $q$.
+ Dãy số phải là cấp số nhân thực sự (kiểm tra$u_{n+1}=u_n \cdot q$với vài giá trị ban đầu).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho dãy số $(u_n)$là cấp số nhân với$u_1=2$,$q=3$. Tìm$u_5$.

Giải:
Áp dụng công thức:
$<br />u_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$
Vậy$u_5=162$.

Lưu ý: luôn kiểm tra chính xác chỉ số mũ ($n-1$) và xác định đúng$u_1$,$q$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho dãy số $(u_n)$là cấp số nhân,$u_4 = 32$,$q=2$. Tìm$u_{10}$.

Giải:
Áp dụng công thức tổng quát xuất phát từ $u_4$:$u_{10} = u_4 \cdot q^{10-4} = 32 \cdot 2^{6} = 32 \cdot 64 = 2048$
Vậy$u_{10} = 2048$.

Kỹ thuật giải nhanh: Khi biết$u_k$và $q$, sử dụng trực tiếp công thức$u_n = u_k q^{n-k}$ để tiết kiệm thời gian.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu$q = 1$, tất cả số hạng đều bằng nhau.
- Nếu$q = -1$, các số hạng xen kẽ$.<br />- Nếu$u_1 = 0$, mọi số hạng sau đều bằng 0.<br />- Liên hệ với cấp số cộng: Khi$q = 1" data-math-type="inline"> u_1, -u_1, u_1,<br />-u_1,<!--LATEX_PROCESSED_1753250238801--></p><p>...<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">.</mi><mo>&lt;</mo><mi>b</mi><mi>r</mi><mi mathvariant="normal">/</mi><mo>&gt;</mo><mo>−</mo><mi>N</mi><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>e</mi><mo>^</mo></mover><mo>ˊ</mo></mover><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">.&lt;br /&gt;- Nếu</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord">.</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mord">/</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0412em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">−</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10903em;">N</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.9579em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.1944em;"><span class="mord">^</span></span></span></span></span></span></span></span><span style="top:-3.2634em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˊ</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span></span>u_1 = 0<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo separator="true">,</mo><mi>m</mi><mtext>ọ</mtext><mi>i</mi><mi>s</mi><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>o</mi><mo>^</mo></mover><mo>ˊ</mo></mover><mi>h</mi><mtext>ạ</mtext><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>u</mi><mtext>đ</mtext><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>e</mi><mo>^</mo></mover><mo>ˋ</mo></mover><mi>u</mi><mi>b</mi><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>˘</mo></mover><mo>ˋ</mo></mover><mi>n</mi><mi>g</mi><mn>0.</mn><mo>&lt;</mo><mi>b</mi><mi>r</mi><mi mathvariant="normal">/</mi><mo>&gt;</mo><mo>−</mo><mi>L</mi><mi>i</mi><mover accent="true"><mi>e</mi><mo>^</mo></mover><mi>n</mi><mi>h</mi><mtext>ệ</mtext><mi>v</mi><mtext>ớ</mtext><mi>i</mi><mi>c</mi><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>^</mo></mover><mo>ˊ</mo></mover><mi>p</mi><mi>s</mi><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>o</mi><mo>^</mo></mover><mo>ˊ</mo></mover><mi>c</mi><mtext>ộ</mtext><mi>n</mi><mi>g</mi><mo>:</mo><mi>K</mi><mi>h</mi><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">, mọi số hạng sau đều bằng 0.&lt;br /&gt;- Liên hệ với cấp số cộng: Khi</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.1523em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mord">ọ</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.9579em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">o</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.1944em;"><span class="mord">^</span></span></span></span></span></span></span></span><span style="top:-3.2634em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˊ</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mord">ạ</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord latin_fallback">đ</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.9579em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.1944em;"><span class="mord">^</span></span></span></span></span></span></span></span><span style="top:-3.2634em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˋ</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.9579em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">˘</span></span></span></span></span></span></span></span><span style="top:-3.2634em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˋ</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord">0.</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mord">/</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.1523em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord">−</span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.1944em;"><span class="mord">^</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">nh</span><span class="mord">ệ</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord">ớ</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mord mathnormal">c</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.9579em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">^</span></span></span></span></span></span></span></span><span style="top:-3.2634em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˊ</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.9579em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">o</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.1944em;"><span class="mord">^</span></span></span></span></span></span></span></span><span style="top:-3.2634em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˊ</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">c</span><span class="mord">ộ</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span><span class="mord mathnormal">hi</span></span></span></span></span>q = 1

...$.<br />- Nếu$u_1 = 0$, mọi số hạng sau đều bằng 0.<br />- Liên hệ với cấp số cộng: Khi$q = 1$ , CSN trở thành dãy hằng số – một trường hợp đặc biệt.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Dễ nhầm giữa cấp số cộng và cấp số nhân.
- Hiểu sai vị trí số mũ trong công thức ($n-1$hoặc$n-k$).
- Cách khắc phục: Vẽ bảng hoặc tính thử vài số hạng đầu để kiểm tra logic.

5.2 Lỗi về tính toán

- Tính sai số mũ hoặc quên dấu ngoặc.
- Sai sót khi thay số hoặc nhầm công bội.
- Cách kiểm tra: Sau khi ra đáp án, thay ngược trở lại công thức để thử lại.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay bộ 36.574+ bài tập Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân miễn phí. Không cần đăng ký, luyện tập không giới hạn và bạn còn có thể theo dõi tiến trình học tập, nâng cao từng ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Hãy thuộc lòng công thức$u_n = u_1q^{n-1}$(hoặc$u_n = u_kq^{n-k}$).
- Xác định đúng số hạng đầu và công bội trước khi áp dụng.
- Kiểm soát lỗi về số mũ, vị trí các chỉ số và các trường hợp đặc biệt.
- Luôn so sánh kết quả với dãy số thực tế để nhận biết sai sót.

Checklist ôn tập:
☑ Biết xác định$u_1$,$q$.
☑ Biết vận dụng công thức$u_n$.
☑ Biết nhận diện các trường hợp đặc biệt của CSN.
☑ Biết kiểm tra kết quả bằng cách thay ngược lại công thức.