1. Giới thiệu về cấp số cộng và tầm quan trọng của số hạng tổng quát

Trong chương trình Toán lớp 11, cấp số cộng là một phần kiến thức nền tảng quan trọng liên quan đến các dãy số, đại số, đồng thời có ứng dụng rộng trong nhiều lĩnh vực như giải bài toán thực tiễn và nâng cao tư duy logic. Một vấn đề cơ bản và thường gặp khi làm việc với cấp số cộng chính là Tìm số hạng tổng quát. Hiểu và xác định được số hạng tổng quát giúp bạn viết được biểu thức tổng quát cho mọi số hạng trong dãy, từ đó giải quyết nhiều bài toán liên quan đến dãy số như: tìm số hạng bất kỳ, tính tổng các số hạng đầu, hoặc giải phương trình, bất phương trình liên quan đến dãy số.

2. Định nghĩa cấp số cộng và số hạng tổng quát

• Cấp số cộng (CSC) là dãy số mà bắt đầu từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) số hạng đứng ngay trước nó một số không thay đổi, gọi là công sai. • Số hạng tổng quát của CSC là biểu thức chỉ ra giá trị của số hạng thứ n (ký hiệu$u_n$) dưới dạng tổng quát dựa vào số hạng đầu tiên và công sai.

Công thức tổng quát của số hạng thứ $n$trong cấp số cộng:

$u_n = u_1 + (n-1)d$

Trong đó:

$u_n$: Số hạng thứ $n$$u_1$: Số hạng đầu tiên$d$: Công sai (sự chênh lệch giữa hai số hạng liên tiếp),$d = u_2 - u_1$$n$: Số thứ tự của số hạng cần tìm ($n \geq 1$)

3. Các bước tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (CSC)

Để tìm số hạng tổng quát$u_n$của một cấp số cộng, ta đi theo các bước sau:

Xác định số hạng đầu$u_1$của dãy.Tính công sai$d = u_2 - u_1$(hoặc chọn bất kỳ hai số hạng liên tiếp để lấy hiệu).Viết công thức tổng quát:$u_n = u_1 + (n-1)d$.

Chúng ta sẽ minh họa qua ví dụ chi tiết ở phần tiếp theo.

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Cho dãy số:$3; 7; 11; 15;...$. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy và số hạng thứ 10.

Giải:

Số hạng đầu:$u_1 = 3$Công sai:$d = 7 - 3 = 4$Công thức số hạng tổng quát:$u_n = 3 + (n-1) \times 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$Số hạng thứ 10:$u_{10} = 4 \times 10 - 1 = 40 - 1 = 39$

Vậy số hạng tổng quát của dãy trên là $u_n = 4n - 1$và số hạng thứ 10 là 39.

Ví dụ 2: Cho biết số hạng thứ 5 bằng 17, số hạng thứ 10 bằng 32. Hãy tìm công thức số hạng tổng quát.

Giải:

Gọi$u_n$là số hạng tổng quát.$u_5 = u_1 + 4d = 17$$u_{10} = u_1 + 9d = 32$Trừ hai phương trình:$(u_1 + 9d) - (u_1 + 4d) = 32 - 17 \implies 5d = 15 \implies d = 3$Thay$d$vào$u_5$:$u_1 + 4 \times 3 = 17 \implies u_1 = 17 - 12 = 5$Vậy công thức số hạng tổng quát là:$u_n = 5 + (n-1) \times 3 = 3n + 2$

5. Các trường hợp đặc biệt & lưu ý khi áp dụng

- Cấp số cộng có số hạng đầu là 0: Khi$u_1 = 0$, số hạng tổng quát thành$u_n = (n-1)d$
- Dãy giảm: Nếu$d<0$, dãy giảm dần, công thức$u_n$vẫn giữ nguyên.
- Biết hai số hạng không liên tiếp: Dùng hệ phương trình hoặc các công thức liên quan, giống như ví dụ 2.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Cấp số cộng là một trường hợp đặc biệt của dãy số tuyến tính (linear sequence).
- Số hạng tổng quát còn dùng để tính tổng của CSC:$S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$hoặc$S_n = \frac{n}{2}\left[2u_1 + (n-1)d\right]$
- Liên hệ với phương trình bậc nhất:$u_n$là một hàm bậc nhất của$n$.

7. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho dãy$(u_n)$,$u_1 = -2$,$d = 3$. Tìm công thức số hạng tổng quát và số hạng thứ 8.

Giải:
Số hạng tổng quát:$u_n = -2 + (n-1)\times 3 = -2 + 3n - 3 = 3n - 5$
Số hạng thứ 8:$u_8 = 3 \times 8 - 5 = 24 - 5 = 19$.

Bài 2: Biết số hạng thứ 3 và thứ 6 của một CSC lần lượt là 8 và 17. Tìm công thức số hạng tổng quát.

Giải:
Ta có $u_3 = u_1 + 2d = 8$,$u_6 = u_1 + 5d = 17$, lấy hiệu:$3d = 9$nên$d = 3$.
Thế lại:$u_1 = 8 - 2 \times 3 = 2$.
Công thức:$u_n = 2 + (n-1) \times 3 = 3n - 1$.

8. Một số lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên trừ đi 1 khi tính$(n-1)d$, dẫn đến sai lệch vị trí số hạng.
- Nhầm lẫn giữa công sai ($d$) và số hạng đầu ($u_1$).
- Xác định sai số thứ tự số hạng (nhiều học sinh bắt đầu từ n = 0 thay vì n = 1 như quy ước tại THPT).

9. Tóm tắt nội dung và điểm cần nhớ

- Số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n = u_1 + (n-1)d$.
- Xác định số hạng đầu$u_1$và công sai$d$chính xác trước khi viết công thức.
- Dễ dàng tính bất kỳ số hạng nào hoặc giải các bài toán liên quan đến dãy số, tính tổng các số hạng đầu.
- Chú ý kiểm tra lại quy ước chỉ số và tránh nhầm lẫn khi áp dụng công thức.