Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân: Khái niệm quan trọng cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân là một kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 11. Đây là dạng bài tập xuất hiện thường xuyên trong kiểm tra, thi cuối kỳ và các kỳ thi lớn như thi THPT Quốc gia. Nắm vững kiến thức này giúp bạn không chỉ giải quyết tốt các bài toán liên quan đến dãy số mà còn có thể ứng dụng trong các tình huống thực tế như tính lãi suất ngân hàng, tăng trưởng kinh tế, vật lý, hoá học… Đặc biệt, với 42.226+ bài tập luyện tập miễn phí, bạn có cơ hội rèn luyện thành thạo kỹ năng này mọi lúc, mọi nơi.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Cấp số nhân là một dãy số trong đó mỗi số hạng (từ hạng thứ hai) đều bằng tích của số hạng liền trước với một số không đổi gọi là công bội ($q \neq 0$).
- Số hạng tổng quát là số hạng$u_n$ở vị trí thứ$n$bất kỳ trong dãy.
- Định lý chính: Dãy số $(u_n)$là cấp số nhân khi và chỉ khi tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp luôn không đổi:$\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$với mọi$n \geq 1$.
- Điều kiện: Công bội$q \neq 0$. Nếu$q = 1$thì dãy thành dãy hằng, nếu$q = -1$thì dãy xen kẽ các dấu.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức số hạng tổng quát:

$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$

- Với$u_1$là số hạng đầu tiên,$q$là công bội,$n$là vị trí số hạng cần tìm.
- Ghi nhớ công thức bằng cách: Viết lại nhiều lần, vận dụng giải bài tập, liên kết với ví dụ thực tế.
- Chỉ áp dụng khi biết$u_1$và $q$(hoặc có thể tính được$u_1$,$q$từ đề bài).
- Biến thể: Nếu biết$u_k$bất kỳ, ta có:

$u_n = u_k \cdot q^{n-k}$

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Đề bài: Cho cấp số nhân$(u_n)$với$u_1 = 3$,$q = 2$. Tìm số hạng tổng quát$u_n$và $u_5$.

Giải:

Áp dụng công thức:

$u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$
=> Số hạng tổng quát là $u_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

Tính$u_5$:

$u_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$
=>$u_5 = 48$

Lưu ý: Luôn kiểm tra$q \neq 0$và chú ý bậc của số mũ ($n-1$).

3.2 Ví dụ nâng cao

Đề bài: Biết$u_3 = 9$,$q = -2$. Tìm số hạng tổng quát$(u_n)$và $u_6$.

Giải:

Áp dụng biến thể công thức:

$u_n = u_3 \cdot q^{n-3}$
$u_3 = 9$,$q = -2$nên$u_n = 9 \cdot (-2)^{n-3}$

Tính$u_6$:

$u_6 = 9 \cdot (-2)^{6-3} = 9 \cdot (-2)^3 = 9 \cdot (-8) = -72$
=>$u_6 = -72$

Kinh nghiệm: Khi$q < 0$, số hạng trong dãy sẽ luân phiên dương âm. Luôn cẩn trọng dấu và bậc mũ!

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu$q = 1$thì dãy là dãy hằng, mọi số hạng đều bằng nhau.
- Nếu$q = -1$thì dãy luân phiên dấu dương/âm (ví dụ $1, -1, 1, -1,...$).
- Nếu$u_1 = 0$thì mọi số hạng sau cũng bằng 0.
- Hãy liên hệ với cấp số cộng hoặc những dãy đặc biệt để đối chiếu công thức.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn cấp số nhân với cấp số cộng.
- Nhận diện sai$q$hoặc nhầm$u_1$khi đề bài không cho trực tiếp.
- Cần phân biệt: Cấp số cộng dùng phép cộng, cấp số nhân dùng phép nhân.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên bậc của số mũ ($n-1$hoặc$n-k$).
- Tính toán sai khi$q$ âm.
- Để kiểm tra kết quả: Thử tính một vài số hạng trước và sau, đối chiếu quy luật. Nếu không đúng quy luật$\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$, hãy kiểm tra lại!

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 42.226+ bài tập Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân miễn phí tại đây.
- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.
- Theo dõi tiến độ học tập, xem gợi ý chi tiết và cải thiện kỹ năng từng ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Nhớ công thức số hạng tổng quát:$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$hoặc$u_n = u_k \cdot q^{n-k}$.
- Biết xác định$u_1$và $q$từ đề bài hoặc giả thiết.
- Đề phòng nhầm lẫn số mũ và dấu của$q$.
- Checklist kiến thức:
+ Nhận diện bài toán về cấp số nhân
+ Nhớ chính xác công thức
+ Biết áp dụng công thức vào bài tập
+ Kiểm tra và soát lỗi sau khi giải
- Lên kế hoạch ôn luyện: Mỗi ngày làm 3-5 bài tập, đối chiếu đáp án và rút kinh nghiệm.