Tính chất bảo toàn hình dạng của phép chiếu song song – Giải thích chi tiết và hướng dẫn học tốt Toán 11

1. Giới thiệu về tính chất bảo toàn hình dạng của phép chiếu song song

Trong chương trình Hình học lớp 11, chủ đề về "phép chiếu song song" xuất hiện trong chương Quan hệ song song trong không gian (Chương IV). Một trong những tính chất then chốt và có ý nghĩa thực tiễn sâu sắc của phép chiếu song song là tính chất bảo toàn hình dạng. Hiểu rõ khái niệm này sẽ giúp học sinh nắm vững các phép biến hình trong không gian, giải quyết các bài toán dựng hình, chứng minh hình học, cũng như áp dụng trong kiến trúc, kỹ thuật, v.v.

Tính chất bảo toàn hình dạng giúp chúng ta biết rằng khi thực hiện phép chiếu song song, hình ảnh của một hình (không gian hoặc phẳng) trên một mặt phẳng khác vẫn cùng loại hình với hình gốc, qua đó thuận lợi cho việc phân tích và tính toán.

2. Định nghĩa chính xác về tính chất bảo toàn hình dạng của phép chiếu song song

Trong hình học không gian, phép chiếu song song là phép biến hình đưa mỗi điểm$M$trong không gian lên một điểm$M'$trên mặt phẳng cho trước (gọi là mặt phẳng chiếu), theo một hướng cho trước (gọi là phương chiếu).

Tính chất bảo toàn hình dạng của phép chiếu song song được phát biểu như sau:

"Nếu một hình phẳng$F$nằm trên một mặt phẳng$(P)$không song song và không trùng với mặt phẳng chiếu$(eta)$, thì hình chiếu song song của$F$lên$(eta)$(theo một phương chiếu không song song với$(P)$) là một hình$F'$ đồng dạng với$F$."

Nói cách khác, phép chiếu song song biến các đoạn thẳng thành các đoạn thẳng (không bị gãy khúc), biến các tam giác thành tam giác đồng dạng, biến các hình chữ nhật thành hình bình hành v.v. Các tỉ số độ dài trên cùng một hình vẫn được bảo toàn.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy cùng xét một ví dụ minh họa để hiểu sâu hơn về tính chất này:

Giả sử cho tam giác$ABC$nằm trên mặt phẳng$(P)$, và mặt phẳng chiếu là $(eta)$không trùng, không song song với$(P)$. Phương chiếu là một vectơ $oldsymbol{v}$không song song với$(P)$. Khi đó, phép chiếu song song sẽ biến mỗi điểm$A,B,C$thành các điểm$A', B', C'$trên$(eta)$. Ba điểm$A', B', C'$là hình chiếu song song của$A, B, C$lên$(eta)$. Khi nối các điểm này, ta được tam giác$A'B'C'$. Theo định nghĩa ở trên, tam giác$A'B'C'$sẽ đồng dạng với tam giác$ABC$.

Điều này có nghĩa là tỉ số hai cạnh bất kì của tam giác$A'B'C'$bằng tỉ số hai cạnh tương ứng của tam giác$ABC$. Các góc tương ứng cũng bằng nhau. Như vậy, hình gốc và hình chiếu giống nhau về hình dạng, chỉ khác về kích thước (lớn hơn/nhỏ hơn hoặc nghiêng lệch).

Ví dụ cụ thể:

Cho hình vuông$ABCD$nằm trên mặt phẳng$(P)$. Thực hiện phép chiếu song song lên mặt phẳng$(eta)$, theo phương không vuông góc với$(P)$mà song song với một vectơ bất kỳ. Khi đó, hình vuông$ABCD$sẽ được biến thành một hình bình hành$A'B'C'D'$, nhưng bốn đoạn$A'B', B'C', C'D', D'A'$vẫn là các đoạn thẳng song song, và các tỉ số giữa các cạnh tương ứng vẫn được bảo toàn.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu mặt phẳng chứa hình và mặt phẳng chiếu song song với nhau, thì hình gốc và hình chiếu không chỉ đồng dạng mà còn bằng nhau (phép dời hình hoặc phép tịnh tiến).

- Nếu phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu, phép chiếu song song trở thành phép chiếu vuông góc và hình chiếu vẫn đồng dạng với hình gốc.

- Nếu mặt phẳng chứa hình trùng với mặt phẳng chiếu, phép chiếu song song trả lại hình gốc.

Lưu ý: Các tỉ số được bảo toàn giữa các đoạn thẳng cùng phương, hình dạng được bảo toàn nhưng độ lớn (kích thước) có thể bị thay đổi – chẳng hạn hình vuông thành hình bình hành.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tính chất bảo toàn hình dạng là một phần nền tảng trong các phép đồng dạng và phép biến hình. Khi học sâu hơn, bạn sẽ gặp các khái niệm như phép vị tự, phép tịnh tiến, phép đồng dạng, v.v – tất cả đều liên quan đến việc bảo toàn hình dạng, tỉ số.

Ứng dụng thực tiễn: Trong vẽ kỹ thuật, vẽ phối cảnh, bản vẽ kiến trúc – việc tạo ra hình chiếu song song để giữ nguyên các tỉ lệ giữa các chiều dài giúp việc thiết kế và đọc bản vẽ chính xác, dễ dàng hơn.

Phép chiếu song song cũng liên hệ với các phép biến hình bảo toàn song song như phép tịnh tiến, phép đồng dạng và các phép biến hình đồng dạng khác trong không gian.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho tam giác$ABC$nằm trên mặt phẳng$(P)$,$(P)$không song song và không trùng với mặt phẳng chiếu$(eta)$. Hãy chứng minh rằng hình chiếu song song của$ABC$lên$(eta)$là một tam giác đồng dạng với$ABC$.

Giải: Gọi hình chiếu song song của$A,B,C$lên$(eta)$theo một phương bất kỳ là $A',B',C'$. Theo tính chất đã nêu, ba điểm$A',B',C'$sẽ tạo thành tam giác$A'B'C'$ đồng dạng với tam giác$ABC$mà không phụ thuộc vào vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (miễn là chúng không song song hoặc trùng nhau). Tỉ số giữa các cạnh tương ứng và các góc tương ứng đều được bảo toàn.

Bài 2: Cho hình chữ nhật$ABCD$nằm trên mặt phẳng$(P)$. Thực hiện phép chiếu song song lên mặt phẳng$(eta)$theo một phương không vuông góc với$(P)$. Hãy xác định hình dạng của hình chiếu và giải thích vì sao.

Giải: Hình chiếu của hình chữ nhật theo phép chiếu song song không vuông góc là một hình bình hành. Vì phép chiếu song song bảo toàn tính song song giữa các đoạn thẳng, nên các cặp cạnh đối của hình chữ nhật vẫn song song nhau trên hình chiếu, nhưng chiều dài cạnh bên có thể thay đổi, dẫn đến hình bình hành đồng dạng với hình chữ nhật gốc.

Bài 3: Cho hình vuông$ABCD$trên mặt phẳng$(P)$, mặt phẳng$(P)$song song với mặt phẳng chiếu$(eta)$. Thực hiện phép chiếu song song theo một phương vuông góc với$(eta)$. Khi đó hình chiếu là hình gì? So sánh với hình gốc.

Giải: Hình chiếu song song của hình vuông$ABCD$trong trường hợp này là một hình vuông nữa, có kích thước bằng hình vuông gốc (phép dời hình). Lý do là mặt phẳng hình và mặt phẳng chiếu song song với nhau, còn phương chiếu vuông góc nên mọi tỉ lệ, góc cạnh đều bảo toàn.

7. Lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa phép chiếu song song và phép chiếu vuông góc. Lưu ý rằng phép chiếu vuông góc là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song với phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu.

- Cho rằng mọi phép chiếu song song đều bảo toàn kích thước tuyệt đối (không đúng, chỉ bảo toàn hình dạng – tỉ số đoạn thẳng, các góc không đổi, nhưng kích thước có thể thay đổi).

- Không chú ý điều kiện về vị trí của mặt phẳng chứa hình và mặt phẳng chiếu: Nếu hai mặt phẳng trùng nhau, hình chiếu là chính hình gốc; nếu song song thì hình chiếu đồng dạng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Phép chiếu song song là phép biến hình quan trọng trong hình học không gian lớp 11, bảo toàn được hình dạng của hình ban đầu thông qua việc đồng dạng hóa.

- Phép chiếu song song biến các đoạn thẳng thành đoạn thẳng, các tam giác thành các tam giác đồng dạng, các hình chữ nhật thành hình bình hành, v.v.

- Tính chất bảo toàn tỉ số các đoạn thẳng và bảo toàn sự song song của các đoạn thẳng trên hình.

- Nhớ kiểm tra điều kiện tương quan giữa mặt phẳng chứa hình và mặt phẳng chiếu để áp dụng đúng tính chất.