Tính chất hai mặt phẳng vuông góc – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 11

Trong chương trình Toán lớp 11, hình học không gian là một phần quan trọng, giúp học sinh phát triển tư duy trực quan và giải quyết các bài toán liên quan đến khối đa diện, khoảng cách, góc và mối quan hệ giữa các đối tượng trong không gian. Trong đó, tính chất hai mặt phẳng vuông góc là một kiến thức nền tảng, xuất hiện thường xuyên trong các bài toán thi và ôn tập.

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Việc xác định hai mặt phẳng có vuông góc với nhau là bước đầu trong nhiều bài toán hình học không gian: tính góc giữa mặt phẳng, xác định phương trình mặt phẳng cần thiết, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng... Nếu hiểu vững tính chất này, học sinh có thể ứng dụng linh hoạt để giải quyết nhiều dạng toán khác nhau.

Tính chất hai mặt phẳng vuông góc cũng liên hệ chặt chẽ với định nghĩa vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai đường thẳng, giữa góc và hình chiếu, giúp hệ thống kiến thức trở nên thống nhất.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

Giả sử hai mặt phẳng 𝛼 và 𝛽 có các vecto pháp tuyến lần lượt là 𝐧_𝛼 và 𝐧_𝛽. Hai mặt phẳng 𝛼 và 𝛽 vuông góc khi và chỉ khi:

$\mathbf{n}_{\alpha} \cdot \mathbf{n}_{\beta}=0$

Một định nghĩa tương đương: hai mặt phẳng vuông góc khi một trong hai mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để kiểm tra hai mặt phẳng có vuông góc hay không, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định phương trình tổng quát của hai mặt phẳng, dạng$ax+by+cz+d=0$.

Bước 2: Xác định vecto pháp tuyến của mỗi mặt phẳng, là $\mathbf{n}=(a,b,c)$.

Bước 3: Tính tích vô hướng$\mathbf{n}_{\alpha} \cdot \mathbf{n}_{\beta}=a_\alpha a_\beta+b_\alpha b_\beta+c_\alpha c_\beta$.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện$\mathbf{n}_{\alpha} \cdot \mathbf{n}_{\beta}=0$. Nếu đúng, hai mặt phẳng vuông góc.

Ví dụ minh họa

Xét mặt phẳng
$P:2x-y+z-3=0<br />a<br />gor<br />Q:x+4y-2z+1=0.$Hai vecto pháp tuyến là $\mathbf{n}_P=(2,-1,1)$và $\mathbf{n}_Q=(1,4,-2)$.

Tích vô hướng
$\mathbf{n}_P \cdot \mathbf{n}_Q=2 \times 1+(-1) \times 4+1 \times (-2)=2-4-2=-4<br>eq0.$Do đó $P<br>perp Q$.

Xét trường hợp khác:
$P':x+2y-z+5=0,\quad Q':2x-y+3=0.$Ta có $\mathbf{n}_{P'}=(1,2,-1),\;\mathbf{n}_{Q'}=(2,-1,0).$Khi đó $\mathbf{n}_{P'} \cdot \mathbf{n}_{Q'}=1 \times 2+2 \times (-1)+(-1) \times 0=0,$nên$P'\perp Q'$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu một trong hai mặt phẳng song song với một trục tọa độ thì vecto pháp tuyến có nhiều thành phần bằng 0; cần kiểm tra kỹ dấu và giá trị các hệ số.

• Trường hợp một mặt phẳng chứa trục Oz (phương trình dạng$ax+by+d=0$), vecto pháp tuyến có thành phần$c=0$.

• Luôn lưu ý kiểm tra chính xác vecto pháp tuyến; sai một dấu có thể dẫn đến kết luận sai.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: đường thẳng có vecto chỉ phương vuông góc với vecto pháp tuyến của mặt phẳng.

• Góc giữa hai mặt phẳng được tính theo công thức:
$\cos \theta=\frac{|\mathbf{n}_{\alpha} \cdot \mathbf{n}_{\beta}|}{\|\mathbf{n}_{\alpha}\|\,\|\mathbf{n}_{\beta}\|}.$

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và giao tuyến của hai mặt phẳng cũng dễ dàng tính khi biết vecto pháp tuyến.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho mặt phẳng
$\alpha:x+y+z-1=0\,,\quad\beta:2x-y+z+3=0.$Xác định xem$\alpha\perp\beta$không?

Lời giải:
Vecto pháp tuyến$\mathbf{n}_{\alpha}=(1,1,1),\quad\mathbf{n}_{\beta}=(2,-1,1).$Tích vô hướng:
$\mathbf{n}_{\alpha} \cdot \mathbf{n}_{\beta}=1 \times 2+1 \times (-1)+1 \times 1=2-1+1=2<br>eq0.$Vậy$\alpha$không vuông góc$\beta$.

Bài tập 2: Cho
$\alpha:x+2y-z+2=0,\quad\beta:2x-y=0.$Tính góc giữa$\alpha$và $\beta$và kết luận chúng có vuông góc không?

Lời giải:
Vecto pháp tuyến$\mathbf{n}_{\alpha}=(1,2,-1),\quad\mathbf{n}_{\beta}=(2,-1,0).$
Tích vô hướng$1 \times 2+2 \times (-1)+(-1) \times 0=2-2+0=0,$
như vậy$\cos \theta=0$, góc$\theta=90^\circ$. Do đó $\alpha\perp\beta$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn vecto pháp tuyến: ghi sai hệ số $a,b,c$khi trích xuất từ phương trình mặt phẳng.

• Bỏ qua trường hợp hệ số bằng 0, dẫn đến tính tích vô hướng sai.

• Nhầm lẫn giữa điều kiện vuông góc của đường thẳng–mặt phẳng và mặt phẳng–mặt phẳng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vecto pháp tuyến bằng 0:$\mathbf{n}_{\alpha} \cdot \mathbf{n}_{\beta}=0$.

- Có thể kiểm tra bằng cách xác định vecto pháp tuyến và tính tích vô hướng nhanh chóng.

- Lưu ý kiểm tra dấu, hệ số 0, tránh nhầm lẫn giữa các khái niệm vuông góc.