Blog

Lớp 11

Tính chất hai mặt phẳng vuông góc – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 11

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Tính chất hai mặt phẳng vuông góc là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11, nằm trong chủ đề Hình học không gian. Việc hiểu rõ hai mặt phẳng vuông góc không chỉ giúp giải quyết tốt các bài toán hình học mà còn là tiền đề vững chắc cho các kiến thức về quan hệ vuông góc và hình học không gian nâng cao. Khái niệm này cũng có ứng dụng thực tế như xác định góc tạo bởi hai bề mặt trong xây dựng, thiết kế kiến trúc, kỹ thuật... Việc luyện tập với hơn 42.226+ bài tập miễn phí sẽ giúp bạn thành thạo kỹ năng này dễ dàng hơn.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Hai mặt phẳng (eta)(eta)và (heta)(heta)gọi là vuông góc với nhau nếu tồn tại hai đường thẳnga⊂(eta)a \subset (eta)và b⊂(θ)b \subset (\theta)cắt nhau tạiOOsao choa⊥ba \perp b. Khi đó, ta ký hiệu (eta)⊥(θ)(eta) \perp (\theta).

  • Định lý 1: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
  • Định lý 2: Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng(α)(\alpha)và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng(α)(\alpha)và (β)(\beta)tại điểmOO, thì nếu nó vuông góc với một đường thẳng khác của(β)(\beta)tạiOO, ta có (α)⊥(β)(\alpha) \perp (\beta).
  • Chú ý: Hai mặt phẳng vuông góceqeqCác đường thẳng trong hai mặt phẳng đều vuông góc. Chỉ cần 2 đường cắt nhau lần lượt nằm trong hai mặt là đủ.

    • 2.2 Công thức và quy tắc

  • Công thức xác định hai mặt phẳng vuông góc bằng véctơ chỉ phương:

    • Cho hai mặt phẳng(P):Ax+By+Cz+D=0(P): Ax + By + Cz + D = 0và (Q):A′x+B′y+C′z+D′=0(Q): A'x + B'y + C'z + D' = 0, khi đó:

    Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khin⃗P⋅n⃗Q=0\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0, trong đó các vectơ pháp tuyếnn⃗P=(A,B,C)\vec{n}_P = (A, B, C)và n⃗Q=(A′,B′,C′)\vec{n}_Q = (A', B', C').
  • Mẹo ghi nhớ công thức: Lấy tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến. Nếu tích bằng 0, hai mặt phẳng vuông góc.
  • Công thức này chỉ áp dụng với hai mặt phẳng có phương trình tổng quát.
  • Biến thể: Kiểm tra vuông góc hai mặt bằng góc giữa hai mặt phẳng (tính bằng hệ số góc hoặc vectơ pháp tuyến).

    • 3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Cho hai mặt phẳngP:x+y+z−1=0P: x + y + z - 1 = 0và Q:x−y+2z+3=0Q: x - y + 2z + 3 = 0. Chứng minhP⊥QP \perp Q.

  • Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
  • n⃗P=(1,1,1)\vec{n}_P = (1, 1, 1);n⃗Q=(1,−1,2)\vec{n}_Q = (1, -1, 2)
  • Bước 2: Tính tích vô hướng:
  • n⃗P⋅n⃗Q=1⋅1+1⋅(−1)+1⋅2=1−1+2=2≠0\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 1 - 1 + 2 = 2 ≠ 0.
  • Vậy hai mặt phẳng KHÔNG vuông góc với nhau.

    • Lưu ý: Nếu tích vô hướng bằng 0, hai mặt phẳng vuông góc.

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Cho mặt phẳng(α):2x−y+3z=4(\alpha): 2x - y + 3z = 4và mặt phẳng(β):−3x+2y+6z=5(\beta): -3x + 2y + 6z = 5. Xác định góc giữa hai mặt phẳng.

  • - Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến:n⃗α=(2,−1,3)\vec{n}_{\alpha} = (2, -1, 3),n⃗β=(−3,2,6)\vec{n}_{\beta} = (-3, 2, 6).
  • - Bước 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng công thức góc giữa hai vectơ pháp tuyến:

    • cos⁡φ=∣n⃗α⋅n⃗β∣∣n⃗α∣∣n⃗β∣\cos \varphi = \frac{|\vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\beta|}{|\vec{n}_\alpha||\vec{n}_\beta|}

    - Tínhn⃗α⋅n⃗β=2×(−3)+(−1)×2+3×6=−6−2+18=10\vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\beta = 2 \times (-3) + (-1) \times 2 + 3 \times 6 = -6 - 2 + 18 = 10.

    - Tính độ dài: ∣n⃗α∣=22+(−1)2+32=4+1+9=14|\vec{n}_\alpha| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}, ∣n⃗β∣=9+4+36=49=7|\vec{n}_\beta| = \sqrt{9+4+36} = \sqrt{49} = 7.

    - Vậy: cos⁡φ=∣10∣14×7=10714\cos \varphi = \frac{|10|}{\sqrt{14} \times 7} = \frac{10}{7\sqrt{14}}.
    - Suy ra φ\varphi không phải góc vuông, hai mặt phẳng không vuông góc.

    Chú ý: Nếun⃗α⋅n⃗β=0\vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\beta = 0, hai mặt phẳng vuông góc nhau.

    4. Các trường hợp đặc biệt

  • Hai mặt phẳng vuông góc khi một mặt phẳng chứa đường vuông góc với mặt phẳng kia.
  • Nếu mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến, cần kiểm tra góc giữa hai vectơ chỉ phương.
  • Liên hệ với các khái niệm: góc giữa đường và mặt phẳng, vuông góc trong không gian...

    • 5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • Nhầm lẫn hai mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng song song.
  • Không phân biệt góc giữa hai mặt phẳng với góc giữa hai đường.
  • Cách kiểm tra: Luôn xét vectơ pháp tuyến và giao tuyến.

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • Sai khi lấy tích vô hướng (cộng hoặc nhân sai hệ số).
  • Quên đưa tích vô hướng về 0 để xác định vuông góc.
  • Hãy kiểm tra lại phép tính sau khi làm xong để tránh nhầm lẫn.

    • 6. Luyện tập miễn phí ngay

    Bạn có thể truy cập bộ 42.226+ bài tập Tính chất hai mặt phẳng vuông góc miễn phí để củng cố kiến thức, không cần đăng ký, luyện tập và theo dõi tiến độ học tập dễ dàng. Đừng bỏ lỡ cơ hội nâng cao kỹ năng giải toán của mình!

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng các véc-tơ pháp tuyến bằng 0.
  • Luôn xác định đúng vectơ pháp tuyến các mặt phẳng.
  • Kiểm tra kỹ các phép tính, tránh nhầm lẫn công thức.
  • Lập kế hoạch ôn tập: Làm từ lý thuyết, ví dụ cơ bản → nâng cao → luyện tập thực tế.

    • Chúc bạn học tốt chủ đề Tính chất hai mặt phẳng vuông góc và đạt kết quả cao trong mọi kỳ thi!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".