Tính chất hai mặt phẳng vuông góc

Tính chất hai mặt phẳng vuông góc là kiến thức nền tảng trong hình học không gian, thường gặp trong chương trình Toán lớp 11. Hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh giải quyết các bài toán về góc, khoảng cách và vị trí tương đối giữa các hình trong không gian một cách chính xác và hiệu quả.

1. Giới thiệu

Trong chương trình hình học không gian lớp 11, việc nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc là cơ sở để xử lý các bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, cũng như ứng dụng trong các bài toán thực tiễn như xác định hướng, kiểm tra tính vuông góc của các bề mặt trong kỹ thuật.

2. Định nghĩa

Cho hai mặt phẳng$(\alpha)$và $(\beta)$cắt nhau theo một đường thẳng$d$. Khi đó ta nói$(\alpha)\perp(\beta)$nếu và chỉ nếu đường thẳng$d$vuông góc với$(\beta)$(tức$d\perp (\beta)$).Một cách tương đương, nếu${\mathbf{n}_\alpha}$và ${\mathbf{n}_\beta}$là hai vectơ pháp tuyến của$(\alpha)$và $(\beta)$thì $<!--LATEX_PROCESSED_1753773745285--></em><em>\mathbf{n}_\alpha \cdot \mathbf{n}_\beta = 0</em>$

3. Giải thích và ví dụ minh họa

Ta có hai cách kiểm tra vuông góc giữa hai mặt phẳng:• Theo hình học: tìm đường giao tuyến và kiểm tra vuông góc.• Theo đại số: kiểm tra tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 1

Xét hai mặt phẳng$(P):\;x+2y+2z=0,\quad (Q):\;2x - y=0.$Pháp tuyến của$(P)$là ${\mathbf{n}_P=(1,2,2)}$, của$(Q)$là ${\mathbf{n}_Q=(2,-1,0)}$. Ta có $<!--LATEX_PROCESSED_1753773745289--></em><em>\mathbf{n}_P\cdot\mathbf{n}_Q = 1\cdot2 + 2\cdot(-1) +2\cdot0 = 2 -2 +0 =0</em>$ Vậy$(P)\perp(Q)$.

Ví dụ 2

Xét hai mặt phẳng tọa độ $xy$và $yz$trong hệ trục toạ độ. Phương trình:$(xy):\;z=0,\quad (yz):\;x=0.$Pháp tuyến của$(xy)$là ${\mathbf{k}=(0,0,1)}$, của$(yz)$là ${\mathbf{i}=(1,0,0)}$. Vì ${\mathbf{i} \cdot \mathbf{k}=0}$, hai mặt phẳng vuông góc.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

• Nếu hai vectơ pháp tuyến song song (tỉ lệ), hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau, không xét vuông góc.• Nếu đường giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc thẳng góc với cả hai pháp tuyến.• Phải chắc chắn phép tính đúng thứ tự thành phần vectơ khi tính tích vô hướng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm khác

• Góc giữa hai mặt phẳng: liên hệ qua góc giữa vectơ pháp tuyến.• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: dùng vectơ pháp tuyến.• Ứng dụng trong tọa độ không gian, chứng minh vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Cho hai mặt phẳng$(\alpha):2x-y+z-3=0$và $(\beta):x+3y-2z+1=0$. Kiểm tra xem chúng vuông góc hay không?

Lời giải:Pháp tuyến:$\mathbf{n}_\alpha=(2,-1,1),\quad \mathbf{n}_\beta=(1,3,-2).$Tích vô hướng:$2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 +1 \cdot (-2)=2-3-2=-3<br>eq0.$Vì tích vô hướng không bằng 0, nên$(\alpha)$và $(\beta)$không vuông góc.

Bài tập 2

Tìm phương trình mặt phẳng đi qua đường thẳng giao tuyến của$(P):x+y+z=1$và $(Q):x-y+2z=2$, vuông góc với$(R):2x+z+1=0$.

Lời giải tóm tắt:1) Gọi vectơ pháp tuyến$\mathbf{n}_P=(1,1,1)$,$\mathbf{n}_Q=(1,-1,2)$,$\mathbf{n}_R=(2,0,1)$.2) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là $\mathbf{n}=\mathbf{n}_R \times (\mathbf{n}_P-\mathbf{n}_Q)$ để đảm bảo vuông góc với$R$và chứa giao tuyến.3) Thay vào công thức tổng quát, xác định hệ số và viết phương trình.(Chi tiết tính toán các bước tìm giao tuyến và tính tích vectơ tự đưa vào bài làm của học sinh.)

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa song song và vuông góc do sai phép tính tích vô hướng.• Quên xác định đúng vectơ pháp tuyến khi chuyển từ dạng tham số sang tổng quát.• Không kiểm tra điều kiện xuất phát (hai mặt phẳng phải cắt nhau).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0.- Kiểm tra qua định nghĩa hình học (đường giao tuyến vuông góc) hoặc qua đại số (pháp tuyến).- Ứng dụng rộng rãi trong giải toán hình học không gian và các bài toán thực tiễn.- Tránh nhầm lẫn bằng cách ghi chép rõ vectơ pháp tuyến và kiểm tra điều kiện cắt nhau.