1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, lượng giác đóng vai trò quan trọng giúp học sinh hiểu rõ các quan hệ toán học và áp dụng vào nhiều dạng bài tập, đặc biệt là giải phương trình, bất phương trình và ứng dụng thực tế. Khái niệm “tính giá trị lượng giác của một góc bất kỳ” giúp bạn biết cách xác định $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$ của mọi góc – kể cả các góc lớn hơn 90°, góc âm hoặc góc vượt quá 360° – điều này cực kỳ cần thiết để phát triển tư duy toán học toàn diện.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

Cho góc lượng giác$\alpha$bất kỳ, định nghĩa giá trị lượng giác dựa trên vị trí của điểm$M$trên đường tròn lượng giác (bán kính$R = 1$, tâm$O$). Các giá trị lượng giác được xác định như sau:

• sinα: Hoành độ điểm $M$, ký hiệu là $oxed{\sin \alpha = y}$
• cosα: Tung độ điểm$M$, ký hiệu là $oxed{\cos \alpha = x}$
• tanα: Tỷ số $\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$nếu$\cos \alpha \neq 0$
• cotα: Tỷ số $\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$nếu$\sin \alpha \neq 0$

Chú ý, các góc bất kỳ có thể là số dương, số âm, hoặc lớn hơn$360^\circ$(hay$2\pi$rad), thậm chí là số âm.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để tính giá trị lượng giác của góc bất kỳ, bạn thực hiện các bước sau:

1. Bước 1: Xác định số đo góc cần tìm (bằng độ hoặc radian), đưa về dạng chuẩn nếu có thể.
2. Bước 2: Xác định góc đó nằm ở tứ giác phần tư nào trên đường tròn lượng giác hoặc sử dụng tính chất đối xứng, bổ sung, bù, hơn kém$\pi/2$,$\pi$…
3. Bước 3: Sử dụng bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt kết hợp các công thức biến đổi để rút gọn.
4. Bước 4: Xác định dấu của giá trị lượng giác dựa vào tứ giác phần tư.

Ví dụ 1: Tính $\sin 150^\circ$, $\cos 210^\circ$, $\tan(-135^\circ)$

• $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$. Nhưng vì $150^\circ$ ở góc phần tư thứ II (sin dương), nên$\sin 150^\circ = \dfrac{1}{2}$.
• $\cos 210^\circ = \cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Vì $210^\circ$nằm ở góc phần tư thứ III (cos âm), nên$\cos 210^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
• $\tan(-135^\circ) = \tan[-(180^\circ - 45^\circ)] = -\tan 45^\circ = -1$. Vì $-135^\circ$nằm ở góc phần tư thứ III (tan dương), nên$\tan (-135^\circ) = 1$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Khi tính giá trị lượng giác của các góc bằng hoặc lớn hơn$360^\circ$,$2\pi$, hay là số âm, đầu tiên cần quy đổi về góc tương ứng trong khoảng$[0^\circ,360^\circ)$(hoặc$[0,2\pi)$) bằng cách trừ hoặc cộng kèm bội số của$360^\circ$:

Ví dụ 2: $\sin 390^\circ = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$

- Với các góc đối, bù, phụ, hơn kém$\pi/2, \pi$, sử dụng công thức lượng giác chuyển đổi:

• $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$, $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$
• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$,$\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$
• $\tan(\pi - \alpha) = -\tan \alpha$,$\tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha$

- Luôn xác định đúng dấu dựa vào vị trí góc trên đường tròn lượng giác.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tính giá trị lượng giác của một góc bất kỳ liên quan mật thiết đến các kiến thức sau:

• Phương trình lượng giác: Việc tính thành thạo sin, cos, tan giúp giải các phương trình nhanh và chính xác.
• Giải tam giác: Ứng dụng công thức lượng giác xác định độ dài, góc trong tam giác.
• Hàm số lượng giác: Nắm vững giá trị lượng giác giúp hiểu đồ thị, chu kỳ, tính tuần hoàn của hàm số.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Tính giá trị các lượng giác sau:

1. a/ $\sin 225^\circ$
2. b/$\cos(480^\circ)$
3. c/$\tan(-60^\circ)$

Giải:

a/ $\sin 225^\circ = \sin (180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

b/$480^\circ - 360^\circ = 120^\circ$.$\cos 480^\circ = \cos 120^\circ$

$\cos 120^\circ = \cos (180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$.

c/ $\tan(-60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$.

Bài tập 2. Tìm tất cả các góc $\alpha$thuộc$[0^\circ, 360^\circ)$sao cho$\sin \alpha = \dfrac{1}{2}$.

Giải: $\sin \alpha = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \alpha = 30^\circ$hoặc$\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Không quy đổi góc lớn hơn$360^\circ$hoặc góc âm về khoảng$[0^\circ,360^\circ)$trước khi tính.
• Quên xác định dấu của giá trị lượng giác dựa trên vị trí phần tư của góc.
• Nhầm lẫn giữa công thức liên quan tới góc đối, bù, phụ ($\pm \alpha$,$\pi-\alpha$,$\pi+\alpha$,$\frac{\pi}{2} - \alpha$...).
• Áp dụng sai bảng giá trị lượng giác cơ bản.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Tính giá trị lượng giác của một góc bất kỳ được xây dựng dựa trên đường tròn lượng giác và các tính chất đối xứng, chu kỳ của các hàm lượng giác.

- Cần thành thạo quy đổi góc về khoảng$[0,360^\circ)$ để vận dụng bảng giá trị cơ bản và công thức chuyển đổi.

- Luôn xác định đúng dấu của hàm lượng giác theo vị trí phần tư.

- Nắm chắc bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt:$0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ,...$

- Đọc kỹ đề bài, xác định dạng góc, sử dụng công thức hợp lý.

Hy vọng bài viết giúp bạn hiểu thật rõ bản chất và cách tính giá trị lượng giác của mọi góc, phục vụ học tập và ôn luyện hiệu quả!.