Blog

Lớp 11

Tính giá trị lượng giác của một góc bất kỳ: Lý thuyết, ví dụ chi tiết và bí quyết luyện tập hiệu quả

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

“Tính giá trị lượng giác của một góc bất kỳ” là nội dung trọng tâm trong chương trình Toán 11, thuộc chương Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Việc nắm vững khái niệm này sẽ giúp các em tính toán chính xác với mọi góc (kể cả góc âm, góc lớn hơn360∘360^{\circ}), vận dụng linh hoạt vào giải bài tập hình học, đại số, vật lý, công nghệ… Trong thực tế, các giá trị lượng giác còn có ứng dụng trong xác định hướng, thiết kế kỹ thuật, lập trình máy tính và nhiều lĩnh vực khác. Đặc biệt, việc hiểu sâu kiến thức này giúp các em vượt qua các kỳ kiểm tra, kỳ thi quan trọng dễ dàng hơn.Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập Tính giá trị lượng giác của một góc bất kỳ ngay tại đây!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

  • - Định nghĩa: Giá trị lượng giác của một góc α\alphabất kỳ (trong hệ độ Radian hoặc độ) là các giá trị của 6 hàm lượng giác:sin⁡α\sin \alpha, cos⁡α\cos \alpha, tan⁡α\tan \alpha, cot⁡α\cot \alpha, sec⁡α\sec \alpha, csc⁡α\csc \alpha.
  • - Định nghĩa dựa trên đường tròn lượng giác: Xét điểm M(x,y)M(x, y)trên đường tròn lượng giác đơn vị (bán kính11), ứng với góc α\alphavẽ từ trụcOxOxthì sin⁡α=y\sin \alpha = y, cos⁡α=x\cos \alpha = x, tan⁡α=yx\tan \alpha = \frac{y}{x}(vớix≠0x \neq 0)…
  • - Các định lý và tính chất: sin⁡\sinvà cos⁡\cosluôn nằm trong khoảng[−1;1][-1; 1]. tan⁡α\tan \alphavàcot⁡α\cot \alphacó thể không xác định tại một số giá trị đặc biệt (ví dụ tan⁡π2\tan \frac{\pi}{2}không xác định docos⁡π2=0\cos \frac{\pi}{2} = 0).

2.2 Công thức và quy tắc

  • - Công thức cơ bản:
    + sin⁡α=đo^ˊihuye^ˋn\sin \alpha = \frac{đối}{huyền}
    +cos⁡α=ke^ˋhuye^ˋn\cos \alpha = \frac{kề}{huyền}
    +tan⁡α=đo^ˊike^ˋ=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{đối}{kề} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
    +cot⁡α=ke^ˋđo^ˊi=cos⁡αsin⁡α\cot \alpha = \frac{kề}{đối} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
  • - Các công thức lượng giác góc liên quan đặc biệt:
    + sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin \alpha
    +cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos \alpha
    +tan⁡(−α)=−tan⁡α\tan(-\alpha) = -\tan \alpha
    + sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha, cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos \alpha
  • - Mẹo nhớ: Sử dụng bảng dấu của các hàm lượng giác (hình "Tứ giác ASTC"), phân biệt góc đặc biệt (0∘0^{\circ},90∘90^{\circ},180∘180^{\circ},270∘270^{\circ},360∘360^{\circ}), sử dụng đường tròn lượng giác.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tính sin⁡150∘\sin 150^{\circ}, cos⁡150∘\cos 150^{\circ}, tan⁡150∘\tan 150^{\circ}.

Lời giải:

150∘=180∘−30∘150^{\circ} = 180^{\circ} - 30^{\circ}. Ta có:

  • sin⁡150∘=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡30∘=12\sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}
  • cos⁡150∘=cos⁡(180∘−30∘)=−cos⁡30∘=−32\cos 150^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
  • tan⁡150∘=−tan⁡30∘=−13\tan 150^{\circ} = -\tan 30^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

Lưu ý khi giải: Luôn quy đổi góc về dạng180∘±α180^{\circ} \pm \alpha,90∘±α90^{\circ} \pm \alpharồi dùng công thức lượng giác; xác định đúng dấu dựa theo góc phần tư.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Tính sin⁡495∘\sin 495^{\circ}.

Lời giải:

495∘=360∘+135∘⇒sin⁡495∘=sin⁡135∘=sin⁡(180∘−45∘)=sin⁡45∘=22495^{\circ} = 360^{\circ} + 135^{\circ} \Rightarrow \sin 495^{\circ} = \sin 135^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Kỹ thuật nhanh: Sau khi trừ đi360∘360^{\circ}hoặc nhiều lần360∘360^{\circ}, đưa góc về 0≤α<360∘0 \leq \alpha < 360^{\circ} để tính toán dễ dàng.

4. Các trường hợp đặc biệt

  • - Góc đặc biệt:0∘0^{\circ},30∘30^{\circ},45∘45^{\circ},60∘60^{\circ},90∘90^{\circ},120∘120^{\circ},... nên ghi nhớ bảng giá trị lượng giác các góc này.
  • - Nếu góc là số âm hoặc lớn hơn360∘360^{\circ}: Quy về góc tương ứng trong khoảng[0∘;360∘)[0^{\circ}; 360^{\circ}).
  • - Khi tử số hoặc mẫu số công thức là 00, chú ý trường hợp không xác định vớitan⁡α\tan \alpha,cot⁡α\cot \alpha.

Mối liên hệ: Giá trị lượng giác một góc bất kỳ còn liên quan đến giải phương trình lượng giác, tính góc giữa hai đường thẳng, v.v...

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

  • - Nhầm lẫn giữa sin, cos, tan hoặc không phân biệt được trường hợp không xác định.
  • - Hiểu lầm về quy tắc dấu của các hàm lượng giác ở từng góc phần tư.
  • - Cách tránh: Học thuộc bảng dấu, bảng giá trị các góc đặc biệt, vận dụng hình vẽ đường tròn lượng giác.

5.2 Lỗi về tính toán

  • - Sai khi sử dụng đơn vị (độ hoặc radian), quên đổi đơn vị.
  • - Lỗi phép toán cộng trừ góc chu kỳ, dấu âm.
  • - Cách phòng tránh: Kiểm tra lại bằng máy tính cầm tay hoặc đối chiếu với bảng giá trị các góc đặc biệt.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay kho 42.226+ bài tập Tính giá trị lượng giác của một góc bất kỳ miễn phí. Không cần đăng ký. Học Tính giá trị lượng giác của một góc bất kỳ miễn phí, theo dõi tiến độ, kiểm tra, cải thiện kỹ năng liên tục!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • - Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ cần quy đổi về góc trong khoảng[0∘;360∘)[0^{\circ}; 360^{\circ}).
  • - Nắm chắc công thức lượng giác cơ bản, dấu các hàm lượng giác theo góc phần tư.
  • - Luyện tập nhiều bài tập để nhớ, tránh sai sót lý thuyết và tính toán.
  • - Luôn kiểm tra đơn vị góc và xác định điều kiện giá trị của hàm lượng giác.

Checklist ôn tập nhanh:

  • ✔️ Hiểu và vận dụng định nghĩa hàm lượng giác mọi góc
  • ✔️ Ghi nhớ các công thức và bảng giá trị đặc biệt
  • ✔️ Xác định nhanh dấu và giá trị của hàm cần tính
  • ✔️ Thành thạo quy tắc cộng, trừ, chuyển đổi đơn vị góc

Chúc các em học tốt và luyện tập đều đặn với các bài tập Tính giá trị lượng giác của một góc bất kỳ miễn phí!

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".