Tính liên tục của tổ hợp các hàm số: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 11

Giới thiệu

Trong chương trình Toán lớp 11, khái niệm liên tục của hàm số là nền tảng quan trọng để nghiên cứu giới hạn, đạo hàm và các ứng dụng khác. Đặc biệt, khi kết hợp nhiều hàm số thông qua phép toán như tổng, hiệu, tích, thương hay hợp, việc duy trì tính liên tục là yếu tố then chốt nhằm đảm bảo các tính chất toán học vẫn được bảo toàn. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ “Tính liên tục của tổ hợp các hàm số” với định nghĩa chính xác, ví dụ minh họa, bài tập mẫu và những lưu ý cần tránh.

Định nghĩa

Giả sử $f$và $g$là hai hàm số xác định trên một tập con D của

. Ta nói các tổ hợp hàm số sau vẫn liên tục tại$x_0 \in D$nếu điều kiện đầu vào thỏa mãn:

1. Tổng: Nếu$f$và $g$liên tục tại$x_0$thì hàm$f+g$liên tục tại$x_0$.

2. Hiệu: Nếu$f$và $g$liên tục tại$x_0$thì hàm$f-g$liên tục tại$x_0$.

3. Tích: Nếu$f$và $g$liên tục tại$x_0$thì hàm$f\,g$liên tục tại$x_0$.

4. Thương: Nếu$f$và $g$liên tục tại$x_0$và $g(x_0) \neq 0$thì hàm$\displaystyle\frac{f}{g}$liên tục tại$x_0$.

5. Hợp: Nếu$f$liên tục tại$x_0$và $g$liên tục tại$f(x_0)$thì hàm hợp$g\circ f$liên tục tại$x_0$.

Giải thích chi tiết với ví dụ minh họa

1. Tổng và hiệu

Cho hai hàm số $f(x)=x^2$và $g(x)=\sin x$. Cả hai hàm này đều liên tục trên

. Xét hàm $h(x)=f(x)+g(x)=x^2+\sin x$. Theo định nghĩa, tổng của hai hàm liên tục vẫn liên tục. Do vậy, $h(x)$liên tục trên.

2. Tích

Ví dụ: Lấy$f(x)=x$và $g(x)=x+1$. Khi đó $h(x)=f(x)\,g(x)=x(x+1)=x^2+x.$Vì $f$và $g$liên tục trên

, tích của chúng cũng liên tục. Vậy$h(x)$liên tục trên.

3. Thương

Ví dụ: Cho $f(x)=\sin x$và $g(x)=x$. Ta xét hàm $h(x)=\frac{\sin x}{x}.$Hàm$g(x)=x$liên tục, nhưng để $h$liên tục tại$x_0=0$, ta cần $g(0) \neq 0$, tuy nhiên $g(0)=0$. Do vậy ta phải xét giới hạn $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$rồi định nghĩa$h(0)=1$ để mở rộng liên tục tại 0.

4. Hợp

Cho $f(x)=\sqrt{x}$xác định trên$[0,+\infty)$và $g(u)=\ln u$xác định trên$(0,+\infty)$. Vì $f$liên tục trên$[0,+\infty)$và $g$liên tục trên$(0,+\infty)$, mà $f(x)>0$với mọi$x>0$, nên hợp $h(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=\ln(\sqrt{x})=\tfrac12\ln x$liên tục trên$(0,+\infty)$.

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Khi xét thương, luôn phải đảm bảo mẫu $g(x) \neq 0$tại điểm xét; nếu không, cần xét giới hạn và có thể định nghĩa lại giá trị tại điểm đó để đạt tính liên tục (ví dụ $\sin x/x$tại$0$).

- Với hàm hợp, cần xác định miền giá trị của hàm trong để chắc rằng đầu vào của hàm ngoài luôn nằm trong miền xác định và liên tục của hàm ngoài.

h(x)=\frac{\sin x}{x} trên khoảng [-10, 10], thể hiện giới hạn \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 và điểm mở rộng liên tục $h(0)=1$ " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Mối liên hệ với các khái niệm khác

Tính liên tục của tổ hợp hàm số liên quan chặt chẽ đến giới hạn và đạo hàm: chỉ khi hàm liên tục, ta mới dễ dàng tính giới hạn của biểu thức phức hợp và áp dụng quy tắc đạo hàm cho tổng, tích, thương, hợp. Ngoài ra, tính liên tục còn giúp xác định tính khả vi và khảo sát đồ thị hàm số.

Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$f(x)=x^3-2x$và $g(x)=e^x$. Chứng minh$h(x)=f(x)\,g(x)$liên tục trên

.

Lời giải: Cả hai hàm đa thức và hàm mũ đều liên tục trên

. Tích của hai hàm liên tục vẫn liên tục. Vậy$h(x)$liên tục trên.

Bài tập 2: Xét hàm

Chứng minh$h$liên tục trên.

Lời giải: Với $x \neq 0$, $h(x)=\sin x/x$là thương của hai hàm liên tục với mẫu khác 0 nên liên tục. Tại$x=0$, ta có $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1=h(0).$Do đó $h$liên tục tại$0$. Kết luận: $h$liên tục trên

.

Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Bỏ sót điều kiện mẫu$\neq 0$khi xét tính liên tục của thương. Luôn kiểm tra trước khi áp dụng.

- Nhầm lẫn miền xác định của hàm hợp. Trước khi hợp hàm, cần xác định rõ miền bản đồ của hàm trong.

- Quên kiểm tra giới hạn khi muốn định nghĩa lại giá trị tại điểm làm cho hàm liên tục.

Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục vẫn liên tục tại điểm chung.
• Thương cần mẫu khác 0; nếu sai, phải xét giới hạn để mở rộng liên tục.
• Hợp hai hàm liên tục (với điều kiện miền phù hợp) vẫn liên tục.
• Liên tục của tổ hợp hàm số là cơ sở để tính giới hạn, đạo hàm và khảo sát hàm số.
• Luôn xác định miền xác định và kiểm tra điều kiện trước khi kết hợp hàm số.