Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân – Lý thuyết và ứng dụng cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, "Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân" là một kiến thức trọng tâm của Chương II – Dãy số. Hiểu rõ khái niệm và công thức tính tổng cấp số nhân không chỉ giúp bạn giải nhanh các bài toán lý thuyết mà còn vận dụng được vào thực tế, ví dụ: tính số tiền gửi ngân hàng có lãi suất kép, dự đoán sự tăng trưởng trong sinh học, vật lý...

Nắm vững cách tính tổng giúp bạn chủ động trong học tập và dễ dàng vượt qua các kỳ thi. Ngoài ra, bạn có cơ hội luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập ngay sau bài viết này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Cấp số nhân (CSN) là một dãy số mà từ số hạng này đến số hạng kế tiếp luôn nhân với cùng một số không đổi gọi là công bội$q$.Ký hiệu:$u_1, u_2, u_3, \ldots$. Với$u_{n+1} = u_n \cdot q$(với$q \ne 0$;$u_n \ne 0$).

• Tính chất: Nếu biết$u_1$và $q$thì mọi số hạng đều có thể xác định bởi công thức$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.

• Điều kiện áp dụng: Tổng$n$số hạng đầu chỉ xác định khi$q \ne 1$(nếu$q = 1$, dãy là hằng số).

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân:

• Trường hợp tính lùi từ số hạng$u_k$:

• Cách nhớ: Chỉ cần nhớ mẫu số là $1 - q$và tử số là hiệu số giữa$1$và $q^n$.

• Nếu$q = 1$, tổng$n$số hạng đầu là $S_n = n \cdot u_1$(dãy hằng số).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho cấp số nhân$(u_n)$với$u_1 = 2$,$q = 3$. Tính$S_4$.

• Áp dụng công thức:$S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$
• $S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 2 \cdot \frac{-80}{-2} = 2 \cdot 40 = 80$

Lưu ý: Đặt dấu ngoặc cẩn thận ở mẫu số và chú ý dấu âm khi$q > 1$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho cấp số nhân$u_1 = 5$,$q = \frac{1}{2}$. Tính tổng$10$số hạng đầu tiên.

• Áp dụng công thức tổng:$S_{10} = 5 \cdot \frac{1 - (1/2)^{10}}{1 - 1/2}= 5 \cdot \frac{1 - 1/1024}{1/2}= 5 \cdot \frac{1023/1024}{1/2}$
• $= 5 \cdot \frac{1023}{1024} \cdot 2 = 5 \cdot \frac{1023}{512} \approx 9,996$

Kỹ thuật: Nếu$q < 1$, giá trị $q^n$sẽ rất nhỏ khi$n$lớn → có thể làm tròn$S_n \approx \frac{u_1}{1-q}$nếu$n$ đủ lớn.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu$q = 1$: Dãy hằng số, tổng$n$số hạng:$S_n = n \cdot u_1$.
• Nếu$|q| < 1$và $n$rất lớn:$S_n \approx \frac{u_1}{1-q}$(tổng vô hạn của cấp số nhân).
• Dãy nghịch đảo:$q < 0$, số hạng$u_n$sẽ luân phiên dấu.

• Mối liên hệ: Tổng cấp số nhân là dạng đặc biệt của tổng dãy số. Hiểu rõ sẽ giúp học tốt phần chuỗi số học trong các lớp cao hơn.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• • Nhầm giữa cấp số cộng và cấp số nhân.
• • Nhầm lẫn công bội$q$với số hạng đầu$u_1$.
• • Không chú ý điều kiện$q \ne 1$của công thức tổng.

5.2 Lỗi về tính toán

• • Quên trừ mẫu hoặc nhân sai vị trí trong công thức.
• • Tính sai lũy thừa$q^n$hoặc dấu hiệu số âm khi$q$ âm.
• • Quên dấu ngoặc, ra đáp án sai.

Cách kiểm tra: Thử thay lại các số hạng để cộng trực tiếp so sánh kết quả, hoặc kiểm tra lại dấu âm/dương.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay bộ 42.226+ bài tập Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân miễn phí – Không cần đăng ký, luyện tập trực tiếp và theo dõi tiến độ học tập từng ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Hiểu khái niệm: cấp số nhân, số hạng đầu, công bội.
• Thuộc lòng công thức tổng:$S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$($q \neq 1$).
• Biết cách áp dụng công thức cho từng trường hợp đặc biệt.
• Kiểm tra kỹ dấu âm, lũy thừa và điều kiện áp dụng.

Luyện tập đều đặn với các bài tập đi từ cơ bản đến nâng cao để làm chủ kiến thức "Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân" trên lớp 11.