Tính tứ phân vị thứ nhất, thứ ba: Khái niệm, công thức và ví dụ minh họa chi tiết

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, "Tính tứ phân vị thứ nhất, thứ ba" là phần kiến thức trọng tâm trong chủ đề số đặc trưng đo xu thế trung tâm. Tứ phân vị giúp phân chia dữ liệu thành các phần bằng nhau và nhận biết sự phân bố, mức độ phân tán của các giá trị. Hiểu vững khái niệm này sẽ giúp các bạn giải quyết hiệu quả các bài toán thống kê, phân tích dữ liệu và các bài kiểm tra thực tế. Ứng dụng thực tiễn của tứ phân vị có thể kể đến như đánh giá kết quả học tập, phân tích số liệu kinh tế, đo lường chỉ số sức khỏe...

Bên cạnh lý thuyết, bạn còn có cơ hội luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập về "Tính tứ phân vị thứ nhất, thứ ba" nhằm nâng cao kỹ năng, tự tin chinh phục mọi dạng bài.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bảnĐịnh nghĩa:
- Tứ phân vị là các giá trị chia một tập dữ liệu thành bốn phần bằng nhau về số phần tử.
- Tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$): còn gọi là phân vị thứ 25% (p25), là giá trị tại vị trí 1/4 số phần tử đầu tiên khi sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần.
- Tứ phân vị thứ ba ($Q_3$): còn gọi là phân vị thứ 75% (p75), là giá trị tại vị trí 3/4 số phần tử đầu tiên.

Tính chất:
-$Q_1$và $Q_3$giúp nhận biết mức tập trung của phần lớn giá trị dữ liệu trong khoảng trung bình.
- Sự khác biệt giữa$Q_3$và $Q_1$gọi là khoảng tứ phân vị, thể hiện độ phân tán của dữ liệu.

Điều kiện áp dụng:
- Áp dụng với dãy số liệu rời rạc hoặc ghép nhóm đã được sắp thứ tự tăng dần.
- Không áp dụng cho mẫu quá nhỏ (dưới 4 phần tử).2.2 Công thức và quy tắcCông thức xác định vị trí tứ phân vị:
- Với mẫu số liệu có $n$phần tử (sắp xếp tăng dần):
+ Vị trí của$Q_1$là $\frac{n+1}{4}$
+ Vị trí của$Q_3$là $\frac{3(n+1)}{4}$

Nếu vị trí là số nguyên: Tứ phân vị là giá trị ở vị trí đó.
Nếu vị trí là số thập phân: Lấy giá trị trung bình của hai vị trí gần nhất.

Cách ghi nhớ công thức:
-$Q_1$: lấy trung bình giữa số lượng phần tử với 1 rồi chia cho 4.
-$Q_3$: lấy 3 lần số lượng phần tử với 1 rồi chia cho 4.

Lưu ý: Khi áp dụng công thức với bảng tần số hoặc số liệu nhóm, cần biết cộng dồn tần số để xác định đúng vị trí tứ phân vị.

Biến thể:
- Có thể sử dụng công thức tương ứng ứng với số liệu dạng ghép nhóm. Khi đó áp dụng nội suy tuyến tính tại lớp chứa tứ phân vị.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bảnĐề bài: Cho dãy số: 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18. Tính tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) và tứ phân vị thứ ba ($Q_3$).

Bước 1: Xác định số phần tử $n=8$

Bước 2: Tính vị trí tứ phân vị:
- Vị trí $Q_1$:
$\frac{n+1}{4} = \frac{8+1}{4} = 2.25$
=>$Q_1$là giá trị trung bình giữa phần tử thứ 2 và thứ 3:
$Q_1 = 4 + 0.25 \times (6-4) = 4.5$
- Vị trí $Q_3$:
$\frac{3(n+1)}{4} = \frac{3 \times 9}{4} = 6.75$
=>$Q_3$là giá trị trung bình giữa phần tử thứ 6 và thứ 7:
$Q_3 = 12 + 0.75 \times (15-12) = 14.25$

Lưu ý: Cần sắp xếp dãy số theo thứ tự tăng dần trước khi tính.3.2 Ví dụ nâng caoĐề bài: Có bảng tần số điểm số môn Toán của 20 học sinh như sau:

| Điểm ($x_i$) | 4 | 5 | 6 | 7

8
Tần số ($n_i$)

2 | 4 | 6 | 5 | 3 |

Tính$Q_1$và $Q_3$.

Bước 1: Xác định vị trí cần tìm với$n=20$:
- Vị trí $Q_1$:$\frac{21}{4} = 5.25$.$Q_1$là giá trị nằm ở vị trí cộng dồn thứ 6.
- Cộng dồn: 2 (điểm 4), 6 (điểm 5), 12 (điểm 6), 17 (điểm 7), 20 (điểm 8).
=> Vị trí 5.25 nằm trong nhóm điểm 5 =>$Q_1 = 5$

- Vị trí $Q_3$:$\frac{3 \times 21}{4} = 15.75$. Vị trí cộng dồn 16 nằm ở nhóm điểm 7 =>$Q_3 = 7$.

Kỹ thuật giải nhanh: Luôn kiểm tra cộng dồn tần số để xác định đúng vị trí tứ phân vị theo số liệu ghép nhóm.

4. Các trường hợp đặc biệt

Nếu số liệu có nhiều phần tử trùng nhau ở các vị trí tứ phân vị, giá trị $Q_1$hoặc$Q_3$vẫn có thể trùng lặp.
Khi dữ liệu dạng ghép nhóm với khoảng lớp, áp dụng công thức nội suy để xác định giá trị tứ phân vị:
$Q_k = L + \frac{(k \cdot n/4 - F)}{f} \cdot d$
Với:$L$là điểm đầu của lớp chứa phân vị,$F$là tần số tích lũy trước lớp phân vị,$f$là tần số lớp phân vị,$d$là độ dài khoảng lớp,$k=1$với$Q_1$,$k=3$với$Q_3$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm- Dễ nhầm tứ phân vị với trung vị hoặc bách phân vị.
- Lẫn lộn giữa$Q_1$và $Q_3$do tính vị trí không chuẩn xác.
- Ghi nhớ:$Q_1$là phân vị thứ nhất (25%),$Q_3$là phân vị thứ ba (75%), trung vị là $Q_2$(50%).5.2 Lỗi về tính toán- Quên sắp xếp dãy số theo thứ tự tăng dần trước khi xác định tứ phân vị.
- Tính sai vị trí (không cộng thêm 1).
- Chọn nhầm số liệu ở vị trí tính tứ phân vị.
- Luôn kiểm tra lại vị trí và kết quả sau khi tính để tránh sai sót.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay kho học liệu với hơn 42.226+ bài tập Tính tứ phân vị thứ nhất, thứ ba miễn phí. Không cần đăng ký, bạn có thể luyện tập ngay lập tức và theo dõi tiến độ học tập của mình, cải thiện kỹ năng qua từng bài.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Những điểm chính cần nhớ:
+ Tứ phân vị chia tập dữ liệu thành 4 phần,$Q_1$tương ứng với 25%,$Q_3$với 75%.
+ Công thức xác định vị trí $Q_1$,$Q_3$cần nhớ kỹ.
+ Luôn sắp xếp số liệu trước khi áp dụng.
- Checklist ôn tập:
+ Hiểu định nghĩa, xác định vị trí đúng, tính toán cẩn thận.
+ Làm bài tập đa dạng, kiểm tra lại mỗi bước tính.
- Kế hoạch ôn tập: Mỗi ngày luyện tập từ 3-5 bài, mỗi tuần tổng kết kiến thức đã học.