Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ – Giải thích chi tiết và hướng dẫn luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, kiến thức về Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ là một phần trọng tâm của chương "Xác suất và Thống kê". Việc hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh có thể giải các bài toán liên quan đến xác suất tổng hợp, xử lý các tình huống liệt kê nhiều trường hợp xảy ra đồng thời hoặc loại trừ lẫn nhau.Việc biết cách tính xác suất của biến cố hợp rất quan trọng không chỉ trong học tập mà còn trong cuộc sống, nhất là khi bạn cần ra quyết định dựa trên xác suất của nhiều sự kiện cùng lúc.Bạn sẽ có cơ hội luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập thuộc chuyên đề này để rèn luyện kiến thức và kỹ năng làm bài.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Biến cố: Sự kiện hoặc kết quả có thể xảy ra trong một phép thử ngẫu nhiên.
- Biến cố hợp: Là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố đã cho xảy ra (ký hiệu$A \cup B$).
- Xác suất biến cố: Là số đo khả năng xảy ra của biến cố, ký hiệu$P(A)$,$P(B)$,...
- Điều kiện áp dụng: Áp dụng cho mọi biến cố $A$,$B$.
- Giới hạn: Nếu$A$và $B$xung khắc (không đồng thời xảy ra), công thức đơn giản hơn.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức xác suất của biến cố hợp:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- Cách ghi nhớ: Cộng xác suất từng biến cố rồi trừ đi phần giao nhau (giống như "phần chung chỉ tính một lần").
- Điều kiện sử dụng: Luôn đúng cho mọi$A, B$.
- Biến thể công thức:
- Nếu$A$và $B$xung khắc (không cùng xảy ra):$P(A \cap B) = 0$, nên$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Trong một lớp học, xác suất để bạn A được chọn là lớp trưởng là $0{,}3$, xác suất để bạn B được chọn là lớp trưởng là $0{,}4$, xác suất cả hai cùng được chọn (cùng làm lớp trưởng) là $0{,}1$. Hỏi xác suất để ít nhất một trong hai bạn được chọn là lớp trưởng?

Lời giải:

Áp dụng công thức:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Thay số vào:

$P(A \cup B) = 0{,}3 + 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}6$

Vậy xác suất để ít nhất một trong hai bạn được chọn là lớp trưởng là $0{,}6$.

Lưu ý: Đừng cộng trực tiếp$0{,}3 + 0{,}4$mà quên trừ phần giao$0{,}1$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Trong một trò chơi, xác suất người chơi trúng giải A là $0{,}2$, trúng giải B là $0{,}35$, xác suất người chơi trúng cả hai giải là $0{,}07$. Hỏi xác suất người chơi trúng ít nhất một giải?

Giải:

Áp dụng công thức:

$P(A \cup B) = 0{,}2 + 0{,}35 - 0{,}07 = 0{,}48$

Vậy xác suất người chơi trúng ít nhất một giải là $0{,}48$.

Lưu ý: Nếu đề cho các biến cố xung khắc, thì phần giao là $0$, công thức sẽ đơn giản hơn.

Mẹo: Hãy đọc kỹ đề xem có giao nhau hay không, nếu có thì luôn phải trừ phần giao.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu$A$và $B$là hai biến cố xung khắc (không thể xảy ra cùng lúc) thì $P(A \cap B)=0$. Khi đó:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

- Nếu$A$là con của$B$(nghĩa là $A$xảy ra thì $B$chắc chắn xảy ra):$P(A \cap B) = P(A)$.

- Mối liên hệ: Có thể mở rộng lên hợp của nhiều biến cố bằng công thức cộng xác suất cho ba, bốn,... biến cố (xem thêm sách giáo khoa hoặc chuyên đề nâng cao).

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa biến cố hợp$A \cup B$(ít nhất một xảy ra) và biến cố giao$A \cap B$(cả hai cùng xảy ra).
- Hiểu sai biến cố xung khắc với biến cố độc lập.

Cách tránh: Ghi nhớ: hợp là "hoặc", giao là "và".

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên trừ xác suất phần giao khi hai biến cố không xung khắc.
- Cộng nhầm xác suất vượt quá $1$.
- Sai khi xác định xác suất của từng biến cố.

Phương pháp kiểm tra: Đáp số $P(A \cup B) \leq 1$và lớn hơn hoặc bằng các xác suất riêng lẻ.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập và làm ngay 42.226+ bài tập Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ miễn phí
- Không cần đăng ký, luyện tập thoải mái và theo dõi tiến độ học tập.
- Rèn luyện kỹ năng, củng cố kiến thức, tăng phản xạ giải bài toán xác suất thực tế.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Luôn ghi nhớ công thức:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- Checklist trước khi làm bài:
Xác định đúng các xác suất và phần giao
Nhớ kiểm tra hai biến cố có xung khắc hay không
* Đảm bảo đáp số hợp lý ($\leq 1$)
- Ôn tập: Làm nhiều bài tập đa dạng, giải thích lại bằng lời của mình, trao đổi kiến thức với bạn bè để hiểu sâu hơn.