Giải thích chi tiết: Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ (Toán lớp 11)

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ là một trong những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất trong chương VIII - Xác suất và Thống kê của chương trình Toán lớp 11. Việc nắm vững khái niệm và quy tắc cộng xác suất sẽ giúp các bạn giải quyết hàng loạt dạng bài về xác suất trong học tập, ôn luyện thi cử và cả trong ứng dụng thực tế, như phân tích rủi ro, xác suất thành công/thất bại trong cuộc sống. Hãy bắt đầu với lý thuyết và luyện tập ngay với hơn 42.226+ bài tập miễn phí!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Biến cố (sự kiện): Kết quả hoặc nhóm kết quả cụ thể của một phép thử. Ký hiệu là $A$,$B$,...
• Hợp hai biến cố ($A \cup B$): Là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố $A$hoặc$B$xảy ra.
• Xác suất của biến cố: Là khả năng xảy ra của biến cố đó, ký hiệu$P(A)$.

2.2 Định lý và tính chất chính

• Công thức cộng xác suất:

Nếu$A$và $B$là hai biến cố bất kỳ thì:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Trong đó:
-$P(A \cup B)$: Xác suất ít nhất một trong hai biến cố $A$hoặc$B$xảy ra.
-$P(A \cap B)$: Xác suất cả $A$và $B$cùng xảy ra (= xác suất của biến cố giao giữa$A$và $B$).

• Điều kiện áp dụng: Công thức này đúng với mọi cặp biến cố $A, B$, bất kể chúng có độc lập, xung khắc… hay không.

2.3 Công thức và quy tắc

• Công thức cần thuộc lòng:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Nếu hai biến cố xung khắc (không cùng xảy ra được) thì $P(A \cap B) = 0 \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• Cách ghi nhớ: "Xác suất hợp = Tổng xác suất từng biến cố – Xác suất giao."
• Chỉ dùng công thức này khi chỉ cần xác suất ít nhất một biến cố xảy ra.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Rút ngẫu nhiên 1 viên bi.
- Gọi$A$: lấy được bi đỏ,$B$: lấy được bi xanh.

Lời giải:
-$P(A) = \frac{5}{8}$,$P(B) = \frac{3}{8}$
-$A$và $B$là hai biến cố xung khắc ($A \cap B = \varnothing$), nên:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} = 1$
- Ý nghĩa: Tổng xác suất bằng 1, vì đây là tất cả khả năng có thể xảy ra khi rút 1 viên bi.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Tung một con súc sắc cân đối.
- Gọi$A$: số mặt chẵn xuất hiện ($2, 4, 6$).
- Gọi$B$: số mặt lớn hơn 3 xuất hiện ($4, 5, 6$).

Tìm$P(A \cup B)$.

Giải:
-$A = \{2, 4, 6\}$nên$P(A) = \frac{3}{6} = 0,5$
-$B = \{4, 5, 6\}$nên$P(B) = \frac{3}{6} = 0,5$
-$A \cap B = \{4, 6\}$nên$P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Áp dụng công thức cộng xác suất:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,5 + 0,5 - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Chú ý: Không cộng trực tiếp$0,5 + 0,5 = 1$vì có trùng (lấy cả $4$và $6$hai lần).

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu hai biến cố xung khắc hoàn toàn thì $P(A \cap B) = 0$, công thức rút gọn thành$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
- Nếu hai biến cố độc lập, vẫn phải trừ $P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$tùy vào nội dung bài.
- Với ba (hoặc nhiều) biến cố: có công thức cộng mở rộng, nhưng lớp 11 chủ yếu xét hai biến cố.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu nhầm$A \cup B$là "hoặc A hoặc B", thực tế là: "ít nhất một trong hai xảy ra".
• Nhầm lẫn biến cố xung khắc với biến cố độc lập. Cần phân biệt rõ: xung khắc là không thể cùng xảy ra, còn độc lập là không ảnh hưởng lẫn nhau.

5.2 Lỗi về tính toán

• Quên trừ $P(A \cap B)$, dẫn đến kết quả lớn hơn 1 hoặc không chính xác.
• Không xác định đúng$A \cap B$.
• Phép cộng phân số sai, không rút gọn kết quả.

Mẹo kiểm tra: Kết quả $P(A \cup B)$phải luôn thỏa mãn$0 \leq P(A \cup B) \leq 1$.

6. Luyện tập miễn phí ngay

💡 Truy cập hơn 42.226+ bài tập Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ miễn phí, giúp bạn thực hành và kiểm tra kiến thức ngay tại nhà. Không cần đăng ký, luyện tập và theo dõi tiến độ học tập dễ dàng, hỗ trợ bạn học Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ miễn phí bất cứ lúc nào.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Công thức quan trọng:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Luôn xác định đúng$A$,$B$,$A \cap B$trước khi làm bài.
• Kiểm tra kết quả sau khi tính xong.
• Thường xuyên luyện tập với bài tập Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ miễn phí.

Checklist trước khi làm bài:
[ ] Hiểu rõ định nghĩa$A$,$B$,$A \cap B$,$A \cup B$
[ ] Ghi nhớ công thức cộng xác suất
[ ] Đọc kỹ dữ kiện bài toán
[ ] Kiểm tra kết quả cuối cùng

Chúc các bạn học tốt và đạt điểm cao khi học Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ miễn phí! Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng này nhé.