Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố rời nhau: Lý thuyết, ví dụ và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, bài toán "Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố rời nhau" giúp học sinh vận dụng các quy tắc xác suất vào thực tiễn và giải quyết hiệu quả các bài tập xác suất. Nắm vững khái niệm này không chỉ giúp bạn đạt điểm tốt trong kiểm tra mà còn hiểu sâu về khả năng xảy ra đồng thời hoặc riêng lẻ của các sự kiện trong cuộc sống.

Hiểu đúng và vận dụng thành thạo sẽ giúp bạn giải nhanh các bài toán xác suất ở trường, ứng dụng trong thống kê, trò chơi, xác suất trong thực tiễn như dự đoán thời tiết, kết quả xổ số, v.v. Đặc biệt, bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập thực hành, giúp bạn thành thạo và nâng cao điểm số.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Biến cố: một sự kiện hoặc kết quả cụ thể trong một phép thử ngẫu nhiên.

• Biến cố rời nhau: Hai biến cố A, B là rời nhau nếu chúng không thể xảy ra đồng thời, tức là A ∩ B = ∅.

• Hợp hai biến cố: Biến cố “A hoặc B xảy ra” được ký hiệu là A ∪ B (A hợp B).

• Định lý xác suất hợp hai biến cố rời nhau: Với A, B là hai biến cố rời nhau thì xác suất biến cố A ∪ B là:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

• Điều kiện áp dụng: A và B phải là hai biến cố rời nhau, nghĩa là chúng không có phần giao.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức cần nhớ:

• Để nhớ công thức hiệu quả, hãy đọc kỹ điều kiện: chỉ dùng khi$A$và $B$không xảy ra đồng thời.

• Nếu$A, B$không rời nhau, phải dùng công thức:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

• Lưu ý đọc kỹ đề bài để xác định đúng mối liên hệ giữa các biến cố.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho một túi gồm 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi. Gọi$A$: “Lấy được bi đỏ”,$B$: “Lấy được bi xanh”. Tính xác suất xuất hiện biến cố $A \cup B$.

• Bước 1: Không gian mẫu có $5+3=8$kết quả.
• Bước 2:$A$gồm 5 khả năng (lấy được bi đỏ) ⇒$P(A) = \frac{5}{8}$.
• Bước 3:$B$gồm 3 khả năng (bi xanh) ⇒$P(B) = \frac{3}{8}$.
• Bước 4: Vì chỉ có 1 bi lấy ra nên$A$và $B$rời nhau (không thể vừa đỏ, vừa xanh).
• Bước 5:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} = 1$.

Lưu ý: Hợp của hai biến cố rời nhau sẽ cho xác suất cộng lại. Đáp án thường sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 1.

3.2 Ví dụ nâng cao

Trong một lớp học có 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Gọi$A$: “Chọn được học sinh nam”,$B$: “Chọn được học sinh đạt học sinh giỏi” (trong đó có 6 nam và 9 nữ đạt học sinh giỏi). Hãy tính xác suất để chọn được một học sinh nam hoặc một học sinh giỏi.

• Tổng số học sinh:$10+15=25$
• Số học sinh nam: 10 ⇒$P(A) = \frac{10}{25} = 0,4$
• Số học sinh giỏi:$6+9=15$⇒$P(B) = \frac{15}{25} = 0,6$
• Số học sinh vừa là nam, vừa giỏi: 6 ⇒$P(A \cap B) = \frac{6}{25} = 0,24$
• Ở đây,$A$và $B$không rời nhau! Phải dùng tổng quát:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,4 + 0,6 - 0,24 = 0,76$.

Kỹ thuật giải nhanh: Xác định đúng điều kiện—nếu có giao thì phải trừ xác suất giao phần đó.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu hai biến cố A, B rời nhau thì công thức cộng xác suất được dùng trực tiếp.
• Nếu một trong hai biến cố không thể xảy ra, xác suất bằng 0 quá trình cộng không ảnh hưởng.
• Nếu A, B có giao nhau thì phải trừ xác suất phần giao cho chính xác.

Liên hệ: Phân biệt công thức cộng xác suất (cho biến cố rời nhau) và công thức xác suất tổng quát (cho mọi biến cố). Đây là chìa khoá khi làm bài toán xác suất hợp.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Lẫn lộn "rời nhau" và "không rời nhau".
• Nhầm lẫn với biến cố độc lập.
• Để xác định đúng, hãy kiểm tra "A" và "B" có thể xảy ra cùng lúc hay không.

5.2 Lỗi về tính toán

• Chỉ cộng xác suất khi không có giao nhau.
• Quên trừ xác suất giao (nếu có).
• Phương pháp kiểm tra: Sau khi tính, xác suất hợp luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổng xác suất hai biến cố và không vượt 1.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay 42.226+ bài tập Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố rời nhau miễn phí. Không cần đăng ký, bạn hoàn toàn có thể bắt đầu luyện tập ngay lập tức và theo dõi tiến độ học tập của mình.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Các điểm chính cần nhớ:
• • Xác suất hợp hai biến cố rời nhau:$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
• • Chỉ áp dụng công thức trên khi$A$và $B$rời nhau.
• • Nếu không rời nhau:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• • Đọc kỹ đề bài, kiểm tra kỹ điều kiện trước khi áp dụng công thức.

Checklist kiến thức trước khi làm bài: Nhớ định nghĩa, phân biệt rời nhau/không rời nhau, thuộc công thức cộng xác suất, kiểm tra kết quả cuối cùng.

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Luyện nhiều dạng bài, đối chiếu đáp án mẫu và rà soát kỹ lỗi thường gặp.