Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố rời nhau: Khái niệm, công thức & ví dụ chi tiết

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố rời nhau là một nội dung quan trọng trong chương trình toán học lớp 11, thuộc phần xác suất. Đây là kiến thức nền tảng để hiểu sâu hơn về các quy tắc xác suất, áp dụng trong giải toán thực tiễn, kiểm tra và thi cử.

Hiểu rõ khái niệm này giúp bạn biết cách tính xác suất của các sự kiện ghép lại với nhau mà không bị "trùng đếm", rất hữu ích khi xử lý các bài toán xác suất phức tạp hoặc các tình huống thực tế như dự đoán thời tiết, xác suất trúng thưởng, xét duyệt hồ sơ,...

Đặc biệt, bạn còn có thể luyện tập hoàn toàn miễn phí với hơn 42.226+ bài tập chất lượng cao về chủ đề này, giúp củng cố và nâng cao kỹ năng giải toán xác suất!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Biến cố rời nhau là gì? Hai biến cố $A$và $B$được gọi là rời nhau nếu chúng không thể cùng xảy ra, nghĩa là$A \cap B = \varnothing$(không có phần tử chung).

- Biến cố hợp: Với hai biến cố $A$và $B$, biến cố $A \cup B$là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố $A$hoặc$B$xảy ra.

- Định lý cộng xác suất: Nếu$A$và $B$là hai biến cố rời nhau, xác suất của biến cố hợp là tổng xác suất của từng biến cố.

- Điều kiện áp dụng: Chỉ áp dụng khi hai biến cố đó rời nhau (không thể cùng xảy ra). Nếu không rời nhau, cần điều chỉnh công thức.

2.2 Công thức và quy tắc

Công thức tổng quát tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố rời nhau:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

- Ghi nhớ bằng cách hình dung: Nếu$A$và $B$tách biệt hoàn toàn, bạn chỉ cần cộng xác suất mỗi biến cố lại với nhau.

- Điều kiện sử dụng: Áp dụng chính xác khi$A$và $B$rời nhau. Nếu không rời nhau, phải trừ đi xác suất phần giao:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

- Các biến thể: Định lý cộng xác suất có thể mở rộng cho nhiều hơn hai biến cố rời nhau.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Một con xúc xắc cân đối được gieo một lần. Tính xác suất để xuất hiện mặt chẵn hoặc mặt số 5.

- Gọi$A$: "xuất hiện mặt chẵn";$B$: "xuất hiện mặt số 5". Ta có $A = \{2, 4, 6\}$,$B = \{5\}$. Hai tập này không giao nhau nên$A$và $B$rời nhau.

$P(A) = \frac{3}{6} = 0,5$;$P(B) = \frac{1}{6}$. Vậy xác suất để xuất hiện mặt chẵn hoặc mặt 5 là:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,5 + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$

Lưu ý: Luôn kiểm tra các biến cố có rời nhau hay không trước khi áp dụng công thức.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Trong một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một bi. Tính xác suất để bi lấy ra là bi đỏ hoặc là bi xanh đậm (giả sử trong hộp chỉ có 2 màu bi, và cả 2 bi xanh đều là xanh đậm).

Giải:

- Gọi$A$: "lấy được bi đỏ",$B$: "lấy được bi xanh đậm".

- Ta có $A \cap B = \varnothing$(vì một bi không thể vừa đỏ vừa xanh đậm)

$P(A) = \frac{3}{5}$;$P(B) = \frac{2}{5}$. Vì $A$và $B$rời nhau:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$

Kỹ thuật giải nhanh: Xác định nhanh tính rời nhau, chỉ cần cộng xác suất hai biến cố. Nếu bài toán chuyển sang loại khác (một biến cố không thuộc hai tập rời nhau), hãy dùng công thức tổng quát.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu hai biến cố không rời nhau, phải trừ đi xác suất phần chung:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
- Nếu nhiều hơn hai biến cố rời nhau: Công thức tổng quát là $P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \ldots + P(A_n)$

- Tránh nhầm lẫn các biến cố rời nhau với biến cố độc lập. Biến cố rời nhau là không thể cùng xảy ra, còn biến cố độc lập là việc xảy ra (hay không xảy ra) của biến cố này không ảnh hưởng đến biến cố kia.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm khái niệm rời nhau với độc lập. Hãy chú ý kiểm tra$A \cap B = \varnothing$cho biến cố rời nhau.
- Quên kiểm tra tính rời nhau trước khi áp dụng công thức.

5.2 Lỗi về tính toán

- Cộng xác suất khi chưa chắc chắn hai biến cố rời nhau dẫn đến kết quả sai.
- Lười kiểm tra tổng xác suất (nên tổng không vượt quá 1).
- Phương pháp kiểm tra: Tính riêng xác suất từng phần, dùng bảng hoặc sơ đồ Venn để hình dung các tập hợp biến cố.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 42.226+ bài tập tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố rời nhau miễn phí ngay trên website.
- Không cần đăng ký, luyện tập tự do, bám sát chương trình lớp 11.
- Dễ dàng theo dõi tiến độ, đánh giá và cải thiện kiến thức xác suất.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Hiểu kỹ định nghĩa biến cố rời nhau và biến cố hợp.
- Công thức cần nhớ:$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$(khi$A$và $B$rời nhau)
- Checklist: Luôn kiểm tra rời nhau, xác suất tính được không vượt 1, luyện tập thêm với nhiều dạng bài.
- Kế hoạch ôn tập: Đầu tiên nắm chắc khái niệm và công thức, luyện tập từ cơ bản đến nâng cao, tra cứu lại lý thuyết khi mắc lỗi.