Blog

Lớp 11

Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố rời nhau – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 11

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu chung về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán học lớp 11, chương xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản để tiếp cận các bài toán thực tiễn. Một trong những kiến thức nền tảng nhất là "Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố rời nhau". Nắm vững khái niệm này không chỉ giúp học sinh giải các bài toán xác suất mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác như thống kê, kinh tế và lĩnh vực khoa học tự nhiên.

2. Định nghĩa: Biến cố hợp và biến cố rời nhau

Trước tiên, hãy cùng ôn lại một số khái niệm:

  • - Biến cố hợp (A ∪ B) là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.
  • - Hai biến cố rời nhau (disjoint, hay còn gọi là "không giao nhau") là hai biến cố không có kết quả nào chung, tức là nếu A xảy ra thì B không thể xảy ra và ngược lại. Ký hiệu:A⋂B=∅A \bigcap B = \varnothing.

    • Như vậy, xác suất của biến cố hợp hai biến cố rời nhau chính là xác suất để A hoặc B xảy ra, khi không có khả năng cả hai xảy ra cùng lúc.

    3. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố rời nhau

    Công thức tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố rời nhau được phát biểu như sau:

    Nếu A và B là hai biến cố rời nhau, thì:

    P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)

    Với:

  • P(A)P(A): Xác suất để biến cố A xảy ra;
  • P(B)P(B): Xác suất để biến cố B xảy ra.

    • 4. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Biến cố A: Lấy được bi đỏ; Biến cố B: Lấy được bi xanh. Hãy tính xác suất để lấy được bi đỏ hoặc bi xanh.

  • Số bi tổng cộng:5+3=85 + 3 = 8.
  • Xác suất lấy được bi đỏ:P(A)=58P(A) = \frac{5}{8}.
  • Xác suất lấy được bi xanh:P(B)=38P(B) = \frac{3}{8}.
  • Hai biến cố này rời nhau vì không thể vừa lấy được bi đỏ vừa lấy được bi xanh trong cùng một lần lấy bi.
  • Áp dụng công thức:P(A∪B)=P(A)+P(B)=58+38=1P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} = 1.

    • Kết quả phù hợp với thực tế: Nếu chỉ có bi đỏ và bi xanh thì lấy ra 1 bi bất kỳ chắc chắn (xác suất 1) sẽ là một trong hai màu này.

    Ví dụ 2: Tung một xúc xắc, biến cố A: Số chấm là số lẻ (1, 3, 5), biến cố B: Số chấm là số chia hết cho 3 (3, 6).
    Chúng ta cùng tính xác suất để ra số lẻ hoặc số chia hết cho 3.

  • Biến cố A: Các kết quả là {1, 3, 5} –P(A)=36=12P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
  • Biến cố B: {3, 6} –P(B)=26=13P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
  • Xét giao của hai biến cố: {3} thuộc cả A và B → không rời nhau. Do đó, cần áp dụng công thức tổng quát (xem phần lưu ý).

    • Như vậy, chỉ khi hai biến cố không có phần giao, mới áp dụng trực tiếp công thức cộng xác suất cho biến cố rời nhau.

    5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • - Nếu hai biến cố không rời nhau (tức là có thể xảy ra đồng thời), công thức cộng xác suất phải trừ đi phần giao:P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
  • - Đảm bảo xác định rõ hai biến cố có rời nhau hay không trước khi áp dụng công thức.
  • - Khi một trong hai biến cố là không thể (có xác suất 0), hoặc là chắc chắn (xác suất 1), công thức vẫn áp dụng bình thường, kết quả tự động phản ánh đặc điểm này.

    • 6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    Công thức cộng xác suất cho hai biến cố rời nhau là trường hợp đặc biệt của công thức tổng quát cho xác suất hợp hai biến cố bất kỳ. Ngoài ra, nó còn liên hệ với các phép toán tập hợp (tập hợp giao, hợp, phần bù), các quy tắc trong xác suất tổ hợp và định nghĩa của xác suất.

    Hình minh họa: Biểu đồ thanh xếp chồng minh họa xác suất của hai biến cố A và B: P(A)=5/8, P(B)=3/8 và tổng P(A ∪ B)=1
    Biểu đồ thanh xếp chồng minh họa xác suất của hai biến cố A và B: P(A)=5/8, P(B)=3/8 và tổng P(A ∪ B)=1
  • - Luật cộng xác suất là nền tảng cho việc mở rộng sang nhiều biến cố cùng lúc (công thức cộng xác suất cho nhiều biến cố rời nhau).
  • - Kỹ năng nhận diện tính rời nhau giúp giải quyết các bài toán xác suất ghép nhiều sự kiện.

    • 7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài tập 1: Một bộ bài Tây chuẩn (52 lá), rút một lá duy nhất. Xác suất rút được lá Át hoặc lá J (bồi) là bao nhiêu?
    Giải:

  • + Số lá Át có: 4; xác suấtP(A)=452P(A) = \frac{4}{52}
  • + Số lá J có: 4; xác suấtP(B)=452P(B) = \frac{4}{52}
  • + Không có lá bài nào vừa là Át vừa là J → hai biến cố rời nhau.
  • +P(A∪B)=P(A)+P(B)=452+452=852=213P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{4}{52} + \frac{4}{52} = \frac{8}{52} = \frac{2}{13}

    • Bài tập 2: Một lô tô gồm các số từ 1 đến 90. Lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn hoặc là bội của 5.

    Học sinh tự thử nghiệm, chú ý: Số chẵn và số bội của 5 có thể trùng nhau (ví dụ: 10, 20, ..., 90), do đó hai biến cố không rời nhau, cần lưu ý khi áp dụng công thức.

    8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • - Nhầm lẫn giữa biến cố rời nhau và không rời nhau, dẫn đến áp dụng sai công thức.
  • - Không kiểm tra phần giao của hai biến cố trước khi áp dụng công thức.
  • - Quên trừ phần giao khi hai biến cố không rời nhau.
  • - Sai sót trong việc tính tổng số trường hợp hoặc số trường hợp thuận lợi.

    • 9. Tóm tắt và những điểm chính cần ghi nhớ

  • - Hai biến cố rời nhau là hai biến cố không thể xảy ra đồng thời.
  • - Xác suất của biến cố hợp hai biến cố rời nhau là tổng xác suất hai biến cố:P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)
  • - Nếu không rời nhau, phải trừ xác suất phần chung:P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
  • - Kiểm tra kỹ tính rời nhau trước khi áp dụng công thức.
  • - Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để thành thạo việc nhận diện biến cố rời nhau và áp dụng công thức xác suất.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".