Blog

Toàn Diện về Tan: Khái Niệm, Công Thức và Cách Luyện Tập Miễn Phí Cho Học Sinh Lớp 11

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, "tan" (tangent) là một trong những hàm số lượng giác căn bản mà các bạn học sinh cần nắm vững. Việc hiểu rõ khái niệm và cách áp dụng tan giúp giải quyết hiệu quả các dạng bài lượng giác, phương trình, bất phương trình và các ứng dụng thực tiễn như tính góc nghiêng, độ dốc hoặc trong các lĩnh vực kỹ thuật. Ngoài ra, luyện tập thành thạo tan còn hỗ trợ học tốt các môn khoa học khác như Vật lý và Tin học. Học sinh lớp 11 có thể luyện tập ngay với 42.226+ bài tập tan miễn phí, tăng kỹ năng giải toán một cách nhanh chóng và hiệu quả.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa tan:

Hàm số tan của một góchetahetatrong tam giác vuông được định nghĩa là:

Trong hệ trục tọa độ và vòng lượng giác, tan còn được định nghĩa bằng tỉ số sin trên cos:

tanx=sinxcosx\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

Điều kiện xác định:tanx\tan xxác định khicosx0xπ2+kπ\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi(kZk \in \mathbb{Z}).

Tính chất chính:

tan(x)=tanx\tan(-x) = -\tan x(hàm lẻ)tan(x+π)=tanx\tan(x + \pi) = \tan x(chu kỳ π\pi)Hàm tan liên hệ mật thiết với các hàm sin, cos, cotg.

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức tan quan trọng:

Công thức cộng:tan(a+b)=tana+tanb1tanatanb\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}Công thức trừ:tan(ab)=tanatanb1+tanatanb\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}Công thức nhân đôi:tan2a=2tana1tan2a\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}Công thức hạ bậc:tan2x=1cos2x1+cos2x\tan^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}

Cách nhớ công thức nhanh: Liên hệ công thức cộng/trừ tan với công thức cộng/trừ phân thức và luyện tập thường xuyên qua các ví dụ cụ thể.

Điều kiện sử dụng: Các công thức này chỉ dùng khi mẫu số khác 0, tức là:

1 - \tan a \tan b
e 0 \leftrightarrow \tan a \tan b
e 1

Các biến thể: Một số trường hợp đặc biệt với góca+ba + b,aba - b9090^\circ(π2\frac{\pi}{2}) hoặc180180^\circ(π\pi)... cần xử lý mẫu số đặc biệt để tránh sai sót.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho tan30=13\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, tính tan60\tan 60^\circbiết60=2×3060^\circ = 2 \times 30^\circ.

Áp dụng công thức nhân đôi:

tan2a=2tana1tan2a\tan 2a = \frac{2\tan a}{1-\tan^2 a}

Thay a=30a = 30^\circ, tana=13\tan a = \frac{1}{\sqrt{3}}:

tan60=2×131(13)2=23113=2323=23×32=3\tan 60^\circ = \frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} = \sqrt{3}

Lưu ý: Luôn kiểm tra điều kiện xác định của mẫu số.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Tínhtan75\tan 75^\circbiết75=45+3075^\circ = 45^\circ + 30^\circ.

Áp dụng công thức cộng tan:

tan75=tan45+tan301tan45tan30\tan 75^\circ = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ}

Với tan45=1,tan30=13\tan 45^\circ = 1, \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}:

tan75=1+131113=3+13113\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}

Quy đồng mẫu số:

tan75=3+13:313=3+131\tan 75^\circ = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}: \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}

Có thể rút gọn thêm nếu cần. Học sinh có thể sử dụng máy tính để kiểm tra kết quả. Kỹ thuật giải nhanh là ghi nhớ giá trị tan của các góc cơ bản để vận dụng linh hoạt.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Khix=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pithì tanx\tan xkhông xác định (mẫu số cosx=0\cos x = 0).
- Cẩn thận với trường hợp góc bù, góc hơn kém nhauπ\pi,2π2\pi...
- Vận dụng các mối liên hệ như 1+tan2x=1cos2x1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} để đổi dạng.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm tan với cotg hoặc sin, cos
- Không để ý điều kiện xác định
- Lẫn lộn giữa công thức cộng/trừ tan với sin, cos

Cách tránh: Đọc kỹ lý thuyết, vẽ hình minh họa, tự ghi chú lại các vị trí đặc biệt.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai khi quy đồng phân số
- Không kiểm tra mẫu số khi áp dụng công thức
- Quên kiểm tra điều kiện xác định

Phương pháp kiểm tra: Sau khi giải xong, thay thử giá trị một số góc cơ bản vào công thức hoặc dùng máy tính để kiểm lại.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Học sinh có thể truy cập 42.226+ bài tập tan miễn phí trên hệ thống, không cần đăng ký. Hệ thống tự động chấm điểm, ghi nhận tiến độ và đề xuất bài luyện thích hợp cho từng bạn. Luyện tập thường xuyên giúp nắm chắc kiến thức, tránh nhầm lẫn và tăng tốc độ giải bài.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Định nghĩa tan: tanx=sinxcosx\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, xác định khi cosx0\cos x \ne 0.
- Các công thức cộng, trừ, nhân đôi tan rất quan trọng với điều kiện mẫu số khác 0.
- Nhớ kiểm tra điều kiện xác định trước khi giải.
- Ghi nhớ giá trị tan của các góc đặc biệt (0, 30°, 45°, 60°, 90°).
- Luyện tập thường xuyên để tránh mắc lỗi và cải thiện kỹ năng giải bài tập tan.

Checklist kiến thức:
☑ Nắm định nghĩa và điều kiện xác định của tan
☑ Thuộc lòng các công thức tan
☑ Hiểu rõ cách áp dụng công thức cho từng dạng bài
☑ Biết các trường hợp đặc biệt và cách xử lý
☑ Luyện tập đầy đủ các dạng bài về tan

Kế hoạch ôn tập: Học lý thuyết từng phần, làm bài tập mẫu, luyện tập tự kiểm tra kết quả và xem kỹ những lỗi thường gặp để tự cải thiện.

Tan (tangent) là khái niệm lượng giác quan trọng trong Toán 11, cần hiểu rõ ý nghĩa, công thức, kỹ thuật giải bài tập và luyện tập nhiều để thành thạo. Bài viết cung cấp lý thuyết, ví dụ minh họa, lỗi thường gặp và cách luyện tập miễn phí cho học sinh lớp 11.

Tan là khái niệm cơ bản trong Toán 11, rất quan trọng để giải các bài tập lượng giác. Học sinh nên nắm vững định nghĩa, công thức và cách vận dụng các trường hợp đặc biệt, đồng thời luyện tập nhiều với hệ thống bài tập tan miễn phí.

tanluyện tập tan miễn phíbài tập tan miễn phíhọc tan miễn phícông thức tanToán 11

tanToán 11Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân đôiBài 2: Công thức lượng giácGiải thích khái niệmTHPT

Lớp 11

Bài viết này cung cấp kiến thức toàn diện về tan, hướng dẫn lý thuyết, ví dụ thực tiễn, lỗi thường gặp và cách luyện tập miễn phí, dành riêng cho học sinh lớp 11.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".