1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của nó trong chương trình toán học – Ứng dụng logarit trong lãi kép (ứng dụng logarit)

Trong chương trình Toán lớp 11, khái niệm logarit không chỉ dừng lại ở lý thuyết mà còn có rất nhiều ứng dụng thực tế, trong đó nổi bật nhất là bài toán tài chính về lãi kép. Việc hiểu rõ ứng dụng logarit giúp học sinh giải quyết các vấn đề tính thời gian để số tiền sinh lãi hay tính lãi suất thực sự hiệu quả.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của logarit

Logarit của số x theo cơ số b được định nghĩa là số mũ y sao cho

$\log_b x = y \iff b^y = x$

Trong đó:

• b là cơ số (>0 và ≠1)
• x (>0)
• y là giá trị của logarit.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa: Lãi kép

Giả sử bạn gửi số tiền gốc P vào ngân hàng với lãi suất danh nghĩa r (năm) và tính lãi kép

n lần trong một năm. Sau t năm, số tiền A đạt được theo công thức:

$A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

Nếu biết P, r, n rồi muốn tìm t, ta giải phương trình sau:

$P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} = A$

Chia hai vế cho P:

$\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} = \frac{A}{P}$

Lấy logarit tự nhiên ln hai vế:

$\ln \Bigl(\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}\Bigr) = \ln \Bigl(\frac{A}{P}\Bigr)$

Áp dụng tính chất \ln(x^k) = k\ln x:

$nt \cdot \ln \Bigl(1 + \frac{r}{n}\Bigr) = \ln \Bigl(\frac{A}{P}\Bigr)$

Do đó, công thức tính thời gian t là:

$\displaystyle t = \frac{\ln(A/P)}{n \, \ln\bigl(1 + \tfrac{r}{n}\bigr)}$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• \textbf{Trường hợp lãi suất cộng dồn liên tục}:

$A = P \, e^{rt}, \quad t = \tfrac{1}{r} \ln \bigl(\tfrac{A}{P}\bigr)$

• \textbf{Chuyển đổi cơ số logarit}:

$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$

• Lưu ý phân biệt giữa \ln (logarit tự nhiên) và \log (thường ngầm định là cơ số 10 trong một số sách).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Hàm số mũ và logarit: logarit là phép toán nghịch đảo của hàm số mũ.
• Giải tích: đạo hàm và tích phân của e^x và \ln x.
• Ứng dụng trong nhiều lĩnh vực: tài chính, sinh học, vật lý, thống kê.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Gửi P = 10\,000 đồng, lãi suất r = 6\%/năm, tính lãi kép 4 lần/năm. Hỏi bao lâu tiền gốc tăng gấp đôi?

Giải:
Áp dụng công thức t = \tfrac{\ln(A/P)}{n\ln(1 + r/n)}.
Ở đây A/P = 2, n = 4, r = 0.06.
Do đó:

Bài tập 2: Gửi P = 5\,000 đồng, lãi suất cộng dồn liên tục r = 8\%. Tính thời gian để đạt A = 10\,000 đồng.

Giải:
Công thức liên tục: t = \tfrac{1}{r} \ln\bigl(\tfrac{A}{P}\bigr).
Ở đây A/P = 2, r = 0.08.
Do đó:

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên chuyển đổi phần trăm sang số thập phân (ví dụ 6\% → 0.06).
• Nhầm lẫn giữa \ln và \log cơ số 10.
• Bỏ sót hệ số n trong lãi kép.
• Không bao gồm dấu ngoặc khi tính 1 + r/n.
→ Kiểm tra kỹ từng bước, xác định rõ cơ số log và đơn vị thời gian.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Logarit là phép toán nghịch đảo của lũy thừa.
• Trong lãi kép, logarit giúp giải phương trình tìm thời gian hoặc lãi suất.
• Công thức chung: t = \tfrac{\ln(A/P)}{n\ln(1 + r/n)}.
• Trường hợp liên tục: A = Pe^{rt} và t = \tfrac{1}{r}\ln(\tfrac{A}{P}).
• Lưu ý chuyển đổi chính xác và giữ nguyên dấu ngoặc.