Ứng dụng logarit trong bài toán thực tế (ví dụ: lãi kép) – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, “Ứng dụng logarit trong bài toán thực tế (ví dụ: lãi kép)” là một kiến thức rất quan trọng. Đây là phần ứng dụng của hàm số mũ và logarit vào các tình huống thực tế như tính lãi suất ngân hàng, tăng trưởng dân số, vật lý, hoá học…

Việc hiểu và giải được các bài toán có ứng dụng logarit không chỉ giúp bạn học tốt môn Toán mà còn làm chủ các kỹ năng lý luận, tư duy logic khi gặp các bài toán thực tế trong cuộc sống. VD: Làm thế nào để biết gửi tiết kiệm bao lâu sẽ đạt được số tiền mong muốn? Muốn đầu tư sinh lời kép, cần xác định thời gian bao nhiêu năm?

Học xong bài này, bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập ứng dụng logarit trong bài toán thực tế (ví dụ: lãi kép) để củng cố kỹ năng.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Logarit là phép toán ngược của lũy thừa. Nếu$a^x = b \ (a>0, a \neq 1, b>0)$thì $x = \log_a b$.

- Các định lý và tính chất chính:
+$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$
+$\log_a\left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N$
+$\log_a(M^k) = k \log_a M$
+ Đổi cơ số:$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

- Điều kiện áp dụng:$a>0$,$a \neq 1$,$b>0$.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức lãi kép cơ bản: Sau$n$năm, số tiền có được khi gửi vốn$P$với lãi suất r (hàng năm), lãi nhập gốc cuối mỗi năm:

$A = P(1 + r)^n$

Nếu biết$A$,$P$,$r$và cần tìm$n$, dùng logarit:

$<br /> n = \frac{\log(A/P)}{\log(1 + r)} <br />$

Cách ghi nhớ: Luôn chuyển số mũ thành phép logarit, nhớ các tính chất cơ bản của logarit và lũy thừa để giải bài toán.

Các biến thể: Lãi kép tính theo quý, tháng (thay đổi$n$và $r$), ứng dụng vào các bài toán tăng trưởng dân số, khối lượng vật chất phân rã theo thời gian…

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Bà An gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm, lãi nhập gốc hàng năm. Hỏi sau bao nhiêu năm số tiền đạt ít nhất 20 triệu đồng?

- Gọi$P = 10$triệu,$A = 20$triệu,$r = 0.07$, cần tìm$n$sao cho$A = P(1 + r)^n$

- Áp dụng logarit:

$n = \frac{\log(A/P)}{\log(1 + r)} = \frac{\log(20/10)}{\log(1.07)} = \frac{\log 2}{\log 1.07}$

- Tính toán:$\log 2 \approx 0.3010$,$\log 1.07 \approx 0.0296$

$n \approx \frac{0.3010}{0.0296} \approx 10.17$

- Kết luận: Sau khoảng 11 năm (làm tròn lên), số tiền sẽ ít nhất là 20 triệu đồng.

Lưu ý: Luôn kiểm tra điều kiện ($P, A, r > 0$;$r$dạng số thập phân).

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Bạn Bình gửi 20 triệu đồng, lãi suất 5%/năm, lãi nhập gốc cuối mỗi năm. Muốn đến năm thứ bao nhiêu, số tiền vượt 32 triệu đồng?

Giải:

$A = 32$triệu,$P = 20$triệu,$r = 0.05$

$n = \frac{\log(A/P)}{\log(1 + r)} = \frac{\log(32/20)}{\log 1.05} = \frac{\log 1.6}{\log 1.05}$

Tra bảng:$\log 1.6 \approx 0.2041$,$\log 1.05 \approx 0.0212$.

$n \approx \frac{0.2041}{0.0212} \approx 9.63$

Vậy cần qua năm thứ 10, tiền mới vượt 32 triệu.

Kỹ thuật giải: Nhớ kết quả phải làm tròn lên đủ năm, chú ý lãi đạt hoặc vượt, không làm tròn xuống.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Biến đổi công thức khi gửi theo quý hoặc tháng: thay$r$và $n$phù hợp (chia nhỏ lãi suất và nhân số kỳ).

- Số tiền giảm dần (bài phân rã phóng xạ...): dùng công thức$A = P(1-r)^n$.

- Mối liên hệ: Kết nối với hàm số mũ/logarit, tăng trưởng dân số, hóa học phân rã chất...

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn logarit và lũy thừa đảo ngược nhau.
- Dùng nhầm số lãi suất (r vs %).
- Không kiểm tra điều kiện tồn tại logarit.

Cách tránh: Luôn chuyển lãi suất từ % sang số thập phân, kiểm tra$A$,$P$,$r$thoả mãn điều kiện.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai khi nhập máy tính logarit

- Làm tròn sai kết quả số năm

Mẹo kiểm tra: Thay nghiệm đã tính vào công thức gốc để xác định đủ điều kiện.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay 42.226+ bài tập Ứng dụng logarit trong bài toán thực tế (ví dụ: lãi kép) miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập và học Ứng dụng logarit trong bài toán thực tế (ví dụ: lãi kép) miễn phí ngay lập tức! Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng dễ dàng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Hiểu bản chất lãi kép, chuyển công thức số mũ sang logarit khi cần tìm số năm.

- Ghi nhớ công thức:$A = P(1 + r)^n$,$n = \frac{\log(A/P)}{\log(1 + r)}$

- Kiểm tra điều kiện tồn tại logarit, đổi lãi suất về số thập phân.

- Làm tròn đúng số năm theo yêu cầu bài toán.

- Kế hoạch ôn tập: Học lý thuyết, giải ví dụ, làm 42.226+ bài tập tự luyện.