Ứng dụng logarit trong bài toán thực tế (ví dụ: lãi kép) lớp 11 - Giải thích chi tiết & luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, các bài toán về ứng dụng logarit, đặc biệt trong các vấn đề thực tế như lãi suất kép, là một phần kiến thức rất quan trọng. Việc hiểu rõ cách áp dụng logarit vào giải các bài toán thực tiễn sẽ giúp bạn làm chủ nội dung chương VI "Hàm số mũ và hàm số logarit", đồng thời vận dụng giải quyết các vấn đề tài chính, khoa học và kỹ thuật trong cuộc sống. Đây cũng là điểm nhấn trong các kỳ thi giữa kỳ, cuối kỳ và ôn luyện cho kỳ thi THPT Quốc gia. Nếu bạn muốn luyện tập, đã có sẵn hơn 42.226+ bài tập Ứng dụng logarit trong bài toán thực tế (ví dụ: lãi kép) miễn phí đang chờ bạn chinh phục!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa:Logarit là phép toán ngược với lũy thừa: Nếu$a^x = b$thì

- Các tính chất cơ bản của logarit:

+

+

+

+

- Điều kiện áp dụng:Cơ số $a>0$,$a \neq 1$, số lấy logarit$b > 0$

2.2 Công thức và quy tắc

Công thức lãi kép:

Nếu số tiền gửi ban đầu là $A_0$, lãi suất mỗi kỳ là $r$(dưới dạng thập phân), sau$n$kỳ, số tiền đạt được là:

$A_n = A_0 (1 + r)^n$

- Trong các bài toán ngược (tìm số kỳ gửi hoặc lãi suất), sẽ cần dùng logarit để giải:

+ Tìm số kỳ $n$:$n = \frac{\log(A_n/A_0)}{\log(1 + r)}$

+ Tìm lãi suất$r$:$r = (\frac{A_n}{A_0})^{1/n} - 1$

Cách ghi nhớ: Hãy hiểu bản chất phép lũy thừa và logarit là ngược nhau. Khi muốn 'giải phóng' ẩn mũ hoặc cơ số, dùng logarit hoặc khai căn.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Bạn gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất kép 7%/năm. Hỏi sau 5 năm bạn nhận được bao nhiêu tiền? (Biết lãi ghép vào gốc mỗi năm)

1. Xác định dữ kiện:$A_0 = 10.000.000$,$r = 0,07$,$n = 5$
2. Áp dụng công thức:$A_n = A_0 (1 + r)^n$
3. Tính:$A_5 = 10.000.000 \times (1 + 0,07)^5 = 10.000.000 \times 1,4026 \approx 14.026.000$(làm tròn đến nghìn)

Lưu ý: Nếu yêu cầu tìm n (số năm để đạt 20 triệu), dùng logarit:

$n = \frac{\log(A_n/A_0)}{\log(1 + r)} = \frac{\log(20/10)}{\log(1,07)} \approx \frac{0,3010}{0,0292} \approx 10,3$

Vậy sau hơn 10 năm bạn mới có hơn 20 triệu.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Một quỹ đầu tư có lãi kép 8%/năm. Để quỹ từ 50 triệu đồng lên 100 triệu đồng, cần ít nhất bao nhiêu năm?

Áp dụng công thức với$A_0 = 50$,$A_n = 100$,$r = 0,08$:

$n = \frac{\log(100/50)}{\log(1,08)} = \frac{\log 2}{\log 1,08} \approx \frac{0,3010}{0,0334} \approx 9,01$

Khi đó số năm tối thiểu là 10 (vì năm thứ 9 chưa đủ 100 triệu, năm thứ 10 thì vượt qua).

Kỹ thuật giải nhanh: Nhớ $\log 2 \approx 0,3010$, sử dụng máy tính cầm tay để tiết kiệm thời gian.

4. Các trường hợp đặc biệt

Nếu lãi suất được chia nhỏ theo quý, tháng,... công thức điều chỉnh:$A_n = A_0 (1 + \frac{r}{k})^{nk}$với$k$là số kỳ trong năm.

Chú ý: Nếu có thêm biến số (tiền gửi, rút hoặc bổ sung định kỳ), bài toán sẽ phức tạp hơn, bạn cần hiểu chắc bản chất logarit để biến đổi đúng.

Ứng dụng khác: Bài toán tăng trưởng dân số, sự phân rã chất phóng xạ cũng có dạng tương tự công thức lãi kép.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu sai logarit chỉ áp dụng với số dương ($a>0, a \neq 1, b>0$)

- Nhầm công thức:$\log_a(m+n) \neq \log_a m + \log_a n$

- Ghi nhớ: Các công thức lũy thừa và logarit là ngược nhau, vận dụng đúng ngữ cảnh.

5.2 Lỗi về tính toán

- Lỗi đổi lãi suất phần trăm sang thập phân.

- Sai số khi làm tròn logarit: nên giữ đầy đủ số lẻ khi tính toán trung gian.

- Nên kiểm tra lại đáp số bằng cách thay ngược vào công thức ban đầu.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Hãy luyện tập ngay với hơn 42.226+ bài tập Ứng dụng logarit trong bài toán thực tế (ví dụ: lãi kép) miễn phí! Không cần đăng ký, có thể bắt đầu ngay, theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng giải toán logarit một cách hiệu quả.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Điểm chính cần nhớ:

• Hiểu bản chất logarit và lũy thừa là ngược nhau
• Thuộc lòng công thức lãi kép và các công thức logarit cơ bản
• Cẩn trọng khi thao tác biến đổi công thức và phép tính lãi kép
• Luôn kiểm tra lại điều kiện xác định và đáp số

Checklist trước khi làm bài:

• Đọc kỹ đề, xác định dạng bài (tìm$n$,$r$,$A_n$...)
• Viết đầy đủ các công thức cần thiết
• Kiểm tra điều kiện lãi suất, số kỳ, số tiền, cơ số...

Kế hoạch ôn tập: Mỗi ngày làm 5-10 bài tập Ứng dụng logarit trong bài toán thực tế (ví dụ: lãi kép) miễn phí, kiểm tra lại kiến thức lý thuyết sau mỗi buổi luyện tập để đạt hiệu quả tốt nhất.