Ứng dụng logarit trong bài toán thực tế (ví dụ: lãi kép) – Học và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 11, "Ứng dụng logarit trong bài toán thực tế (ví dụ: lãi kép)" là một chủ đề quan trọng thuộc chương hàm số mũ - logarit. Việc vận dụng logarit giúp giải nhanh những bài toán liên quan đến lãi suất, tăng trưởng dân số, phân rã chất phóng xạ,... Hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh dễ dàng áp dụng khi gặp các bài toán thực tế và có thể vận dụng vào cuộc sống, đặc biệt trong quản lý tài chính cá nhân như tính toán lãi ngân hàng.

Việc nắm vững kiến thức còn giúp các em chuẩn bị tốt cho các kỳ thi, chủ động hơn khi tiếp nhận các bài toán ứng dụng cao hơn ở bậc học khác. Bạn cũng có thể luyện tập miễn phí hơn 42.226+ bài tập ngay tại đây.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa logarit: Với$a > 0$,$a \neq 1$,$b > 0$thì logarit cơ số $a$của$b$là số thực$x$sao cho$a^x = b$. Ký hiệu:$x = \log_a b$.

• Lãi kép: Là hình thức tính lãi mà lãi suất mỗi kỳ được cộng dồn vào vốn để tính lãi cho kỳ tiếp theo. Công thức tổng quát sau$n$kỳ:

$A = P(1 + r)^n$

Trong đó:$A$là số tiền nhận được sau$n$kỳ,$P$là số tiền gốc ban đầu,$r$là lãi suất mỗi kỳ (dưới dạng thập phân),$n$là số kỳ.

• Khi cần tìm ẩn số $n$(số kỳ) hoặc$r$(lãi suất), ta phải sử dụng logarit để giải phương trình mũ.

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức logarit cần thuộc lòng:

+$\log_a (AB) = \log_a A + \log_a B$

+$\log_a \left( \frac{A}{B} \right) = \log_a A - \log_a B$

+$\log_a A^k = k\log_a A$

Cách ghi nhớ hiệu quả: Đọc to, vận dụng công thức trong bài toán thực tiễn, luyện giải nhiều bài tập.

Lưu ý: Chỉ sử dụng logarit với những phương trình có dạng$a^x = b$hoặc tương tự, không nhầm với bài toán tuyến tính.

Các biến thể: Phải nhận diện đúng dạng phương trình (ẩn nằm ở số mũ), có thể đổi cơ số logarit tuỳ ý:

$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bạn gửi$10~000~000$đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm, lãi kép. Hỏi sau bao lâu bạn sẽ có$20~000~000$ đồng (giả sử lãi suất không đổi)?

Áp dụng công thức:$A = P(1 + r)^n$, ta có:

$20~000~000 = 10~000~000 \times (1 + 0,06)^n$

$\Rightarrow 2 = (1,06)^n$

Lấy logarit cơ số 1,06 hai vế ta được:

$\log_{1,06}2 = n$

Hoặc chuyển sang logarit tự nhiên:

$n = \frac{\ln 2}{\ln 1,06} \approx \frac{0,6931}{0,0583} \approx 11,89$(năm)

Vậy sau khoảng 12 năm, số tiền sẽ tăng gấp đôi.

Lưu ý: Đọc kỹ đơn vị lãi suất (%/năm), chuyển đúng sang số thập phân.

3.2 Ví dụ nâng cao

Một tài khoản ngân hàng có $2~000~000$ đồng, lãi suất 7%/năm, lãi gộp sau mỗi năm. Hỏi sau bao nhiêu năm thì tài khoản vượt 4~500~000 đồng?

$A = 2~000~000 \times (1,07)^n$

$4~500~000 = 2~000~000 \times (1,07)^n \Rightarrow (1,07)^n = 2,25$

$n = \frac{\ln 2,25}{\ln 1,07} \approx \frac{0,8109}{0,0677} \approx 11,98$

Vậy cần khoảng 12 năm.

Kỹ thuật giải nhanh: Quy về bài toán tìm ẩn trong số mũ, áp dụng logarit nhiều cơ số tùy thích.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Lãi kép theo tháng: Phải chuyển$r$về lãi suất tháng,$n$là số tháng.

- Nếu lãi suất thay đổi qua các kỳ: Chia nhỏ bài toán, tính riêng từng giai đoạn.

- Phân biệt rõ bài toán lãi đơn và lãi kép.

- Có thể áp dụng cho bài toán dân số, sinh vật tăng trưởng, phân rã phóng xạ… với các công thức tương đồng.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn phương pháp logarit với các phương pháp khác khi ẩn nằm ở số mũ.

- Không phân biệt bài toán lãi kép và lãi đơn.

- Để tránh: Đọc kỹ đề, xác định rõ ẩn số nằm ở mũ.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên đổi lãi suất phần trăm sang số thập phân.

- Nhập nhầm công thức logarit, sai cơ số logarit.

Cách kiểm tra: Tính ngược lại giá trị $A$xem kết quả có khớp đề bài không.

- Dùng máy tính kiểm tra các phép tính logarit phức tạp.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập ngay 42.226+ bài tập Ứng dụng logarit trong bài toán thực tế (ví dụ: lãi kép) miễn phí.

- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

- Theo dõi tiến độ học tập, cải thiện kỹ năng và củng cố chắc chắn kiến thức.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Hiểu rõ vai trò của logarit trong giải bài toán thực tế dạng lãi kép.

- Nhớ và vận dụng được các công thức logarit cơ bản.

- Luyện tập để làm quen với việc biến đổi phương trình mũ và sử dụng logarit để tìm ẩn.

Checklist trước khi làm bài:

+ Xác định đúng dạng bài (ẩn ở số mũ)

+ Đổi lãi suất về hệ số thập phân, xác định đúng số kỳ ($n$)

+ Áp dụng chính xác công thức logarit, kiểm tra lại kết quả

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Làm thật nhiều bài tập thực tế, ghi chú lại các lỗi sai thường gặp và chủ động hỏi thầy cô, bạn bè khi gặp khó khăn.