1. Giới thiệu về hàm số tan và tầm quan trọng trong toán học đời sống

Toán học không chỉ là môn học gói gọn trong sách vở. Nếu bạn từng nhìn dốc một con đường, tính xem một cái thang có đủ dài để đặt tới ban công không, hay mê đắm những hiệu ứng ánh sáng tuyệt đẹp của đời thường, thì bạn đã tiếp xúc với "tan" – hay chính xác hơn là hàm số lượng giác tan. Trong toán học, tan (ký hiệu$\tan$) là tỷ số giữa cạnh đối và cạnh kề trong một tam giác vuông:$\tan \alpha = \frac{a}{b}$, với$a$là cạnh đối và $b$là cạnh kề của góc$\alpha$. Đây là một trong những công cụ mạnh mẽ giúp ta giải quyết vô vàn vấn đề thực tế hàng ngày lẫn chuyên sâu trong các ngành nghề.

2. Các ứng dụng của tan trong đời sống hàng ngày

a) Đo chiều cao của một vật thể lớn mà không cần leo lên nó

Giả sử bạn muốn biết chiều cao của một cái cây mà không thể trèo lên đo trực tiếp. Đơn giản, chỉ cần đo chiều dài bóng của cây (giả sử là $8$mét) và chiều dài bóng của mình (giả sử $1.5$mét), biết chiều cao của mình là $1.7$mét. Theo tính chất đồng dạng, ứng dụng tan, ta có:

$\tan \theta = \frac{h}{d}$, với$h$là chiều cao,$d$là độ dài bóng,$\theta$là góc tạo bởi ánh sáng mặt trời.

Khi biết$h_{người} = 1.7$m,$d_{người} = 1.5$m →$\tan \theta = \frac{1.7}{1.5} = 1.13$

Vì \tan\theta không đổi ở cùng một thời điểm, \tan\theta = \frac{h_{cây}}{d_{cây}}

Suy ra:$h_{cây} = \tan \theta \times d_{cây} = 1.13 \times 8 = 9.04$mét.

b) Đo góc dốc của một con đường:

Bạn từng đi xe đạp lên dốc và tự hỏi dốc đó "nghiêng" bao nhiêu độ? Nếu đo được chiều cao chênh lệch là $2$m và quãng đường đi lên là $10$m, ta có:

$\tan \alpha = \frac{2}{10} = 0.2$⇒$\alpha \approx 11.3^\circ$.

c) Định hướng xây dựng và thiết kế các công trình

Khi thiết kế cầu thang, thợ xây cần đảm bảo góc dốc hợp lý để thuận tiện sử dụng. Nếu chiều cao cần xây là $3$m, bậc thang dự kiến dài$4$m, góc$\theta$của cầu thang sẽ là:$\tan \theta = \frac{3}{4} = 0.75$⇒$\theta \approx 36.9^\circ$.

3. Ứng dụng của tan trong các ngành nghề khác nhau

a) Kiến trúc & Xây dựng: Tính toán dốc mái, cầu thang, góc nghiêng của giàn giáo.

b) Hàng hải & Hàng không: Xác định góc nghiêng của tàu thuyền khi cập cảng, hay đường bay lên xuống của máy bay.

c) Quân sự: Tính góc bắn pháo, súng để đạt tầm bắn xa nhất.

d) Thiết kế & Đồ họa 3D: Tính toán các góc quay camera, animation, hiển thị hình họa không gian.

e) Địa lý & Trắc địa: Đo độ cao, vẽ bản đồ địa hình qua máy toàn đạc điện tử, tính độ dốc địa hình.

f) Công nghệ robot: Đo tính toán khung xương (skeleton) của các bộ phận máy móc khi thiết kế di chuyển trong không gian ba chiều.

4. Các ví dụ thực tế với dữ liệu minh họa

Ví dụ 1: Khi xây nhà, một kỹ sư muốn thiết kế mái nghiêng có góc$30^\circ$, chiều ngang mái là $5$m. Độ cao đỉnh mái sẽ là $h = 5 \times \tan 30^\circ \approx 2.89$m.

Ví dụ 2: Ở sân bay Tân Sơn Nhất, đường băng nghiêng một góc$1.5^\circ$để nước thoát tốt. Nếu bề ngang là$45$m, hiệu số chiều cao sẽ là $h = 45 \times \tan 1.5^\circ \approx 1.18$m.

Ví dụ 3: Một vận động viên nhảy xa muốn đạt được khoảng cách xa nhất khi nhảy với góc$\alpha$để$\tan \alpha$lớn nhất theo lý thuyết vật lý.

5. Kết nối kiến thức tan với các môn học khác

Vật lý: Tính thành phần lực dốc, tính toán bóng rơi, quỹ đạo vật chuyển động ném xiên.

Địa lý: Đo vẽ bản đồ địa hình, xác định điểm cao/ thấp trên bản đồ.

Giáo dục quốc phòng - an ninh: Xác định góc bắn pháo, tầm ngắm của vũ khí trong các bài thực hành.

6. Dự án nhỏ cho học sinh lớp 11: Mang tan vào thực tiễn

• Đo chiều cao cột cờ trường hoặc tòa nhà bằng bóng nắng và góc tạo bởi mặt đất.
• Chụp ảnh, đo đạc, ghi chú các góc nghiêng của cầu thang trong trường học. Tính và so sánh giữa các dãy.

• Làm mô hình cầu thang, mái nhà mini bằng giấy hoặc que kem. Đo các cạnh và tính góc với tan.

• Sử dụng app trên điện thoại (Angle Meter, Clinometer) đo góc dốc các bờ dốc tự nhiên hoặc công trình gần nhà, đối chiếu với kết quả tính bằng tan.

7. Ý kiến chuyên gia: Giáo viên Toán chia sẻ

"Nếu học sinh chịu khó quan sát thực tế và biến mỗi bài toán thành một câu chuyện thật, hàm số tan không còn trừu tượng nữa. Kiến thức này giúp các em tự tin, sáng tạo hơn khi ứng dụng trong ngành học hoặc công việc tương lai. Hãy thử đo bóng, tính dốc, vẽ bản đồ cùng tan – bạn sẽ thấy Toán ngay bên cạnh cuộc sống mình!" — Thầy Nguyễn Văn Thành, Giáo viên Toán THPT Lê Quý Đôn.

8. Tài nguyên bổ sung cho học sinh tự học