Blog

Lớp 11

Ứng dụng thực tế của Giới hạn một phía trong cuộc sống và các ngành nghề – Hướng dẫn dành cho học sinh lớp 11

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm toán học

Giới hạn một phía là gì? Trong giải tích, giới hạn một phía (hữu hạn/ tả hoặc hữu) của hàm số tại một điểm là giá trị mà hàm số tiến dần về khi biến tiến đến điểm đó từ bên trái hoặc bên phải. Ký hiệu:lim⁡x→a−f(x)\lim_{x \to a^-} f(x)(giới hạn bên trái),lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^+} f(x)(giới hạn bên phải). Đây là phép toán quan trọng để khảo sát sự liên tục, các bài toán cực trị và chuỗi sự kiện trong thực tế. Trong chương trình toán học lớp 11, giới hạn một phía là nền tảng mở rộng cho các kiến thức về hàm số liên tục, đạo hàm và ứng dụng phân tích dữ liệu. Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập ứng dụng đa dạng để củng cố và nâng cao kỹ năng giải toán.

Hình minh họa: Đồ thị minh họa giới hạn một phía tại x = 1 cho hàm số f(x)=x+2 (x<1) và f(x)=2x (x>1), với lim_{x→1^-}f(x)=3 và lim_{x→1^+}f(x)=2 được đánh dấu bằng các điểm tròn rỗng.
Đồ thị minh họa giới hạn một phía tại x = 1 cho hàm số f(x)=x+2 (x<1) và f(x)=2x (x>1), với lim_{x→1^-}f(x)=3 và lim_{x→1^+}f(x)=2 được đánh dấu bằng các điểm tròn rỗng.

2. Ứng dụng trong đời sống hàng ngày

2.1 Ứng dụng tại nhà

Bạn có bao giờ gặp tình huống như: Bật bình nước nóng và đo xem khi nào nhiệt độ chạm đến một giá trị nào đó? Giới hạn một phía giúp bạn xác định "nhiệt độ" tiến sát đến mức đủ ấm từ phía dưới (bên trái). Ví dụ, nhiệt độ nước từ 20°C tăng dần lên 55°C. Bạn quan tâm đến giới hạn bên tráilim⁡T→55−T\lim_{T \to 55^-} T(nhiệt độ chưa vượt quá 55 độ) để đảm bảo \tan toàn.

Hình minh họa: Đồ thị hàm số T(t) = 55 - 35 exp(-0.3 t) mô phỏng nhiệt độ nước tăng từ 20°C đến tiến sát 55°C từ bên trái, minh họa giới hạn một phía lim(T→55⁻) T
Đồ thị hàm số T(t) = 55 - 35 exp(-0.3 t) mô phỏng nhiệt độ nước tăng từ 20°C đến tiến sát 55°C từ bên trái, minh họa giới hạn một phía lim(T→55⁻) T

Áp dụng: Ghi lại thời gian nhiệt độ đạt từng mức (40°C, 50°C...) để dự đoán lúc nào có thể tắt bình nước mà không lãng phí điện.

2.2 Ứng dụng trong mua sắm

Khi mua đồ điện tử, bạn thường so sánh giá tại nhiều cửa hàng. Hãy quan sát giá của một sản phẩm khi nó "tiến dần" đến mức giảm sâu nhất (khuyến mãi cuối cùng trước khi hết hàng). Lúc này, giới hạn một phía cung cấp công cụ dự báo xu hướng giá trong thời gian ngắn từ phía giảm.

Ví dụ thực tế: Mỗi ngày, giá một chiếc laptop giảm từ 20 triệu đồng dần về 16 triệu đồng. Bạn muốn biết khi giá xấp xỉ 16 triệu nhưng chưa xuống thấp hơn, hãy xétlim⁡G→16+G\lim_{G \to 16^+} G để cân nhắc thời điểm mua hợp lý nhất.

Hình minh họa: Đồ thị mô phỏng giá laptop giảm dần từ 20 triệu đồng về 16 triệu đồng theo thời gian, minh họa khái niệm giới hạn khi G tiếp cận 16 triệu từ bên phải (lim_{G→16^+} G = 16).
Đồ thị mô phỏng giá laptop giảm dần từ 20 triệu đồng về 16 triệu đồng theo thời gian, minh họa khái niệm giới hạn khi G tiếp cận 16 triệu từ bên phải (lim_{G→16^+} G = 16).

2.3 Ứng dụng trong thể thao và giải trí

Trong chạy bộ, bạn đặt mục tiêu đạt vận tốc 10 km/h nhưng không vượt quá giới hạn. Quá trình tăng tốc từ 8 km/h lên sát 10 km/h chính là tình huống áp dụng giới hạn một phía bên trái. Khi xem thống kê trận đấu, số điểm của đội bạn yêu thích vượt mốc 100 chính xác lúc nào là bài toán sử dụng giới hạn một phía.

Hình minh họa: Đồ thị minh họa giới hạn một phía bên trái trong hai tình huống thực tế: (1) vận tốc chạy bộ v(t)=10−2e^{−0.8t} tăng từ 8 km/h và tiệm cận mốc 10 km/h từ bên trái; (2) số điểm đội bóng S(t)=2.5t tiệm
Đồ thị minh họa giới hạn một phía bên trái trong hai tình huống thực tế: (1) vận tốc chạy bộ v(t)=10−2e^{−0.8t} tăng từ 8 km/h và tiệm cận mốc 10 km/h từ bên trái; (2) số điểm đội bóng S(t)=2.5t tiệm

3. Ứng dụng trong các ngành nghề

3.1 Ngành kinh doanh

Giới hạn một phía dùng để dự báo doanh thu trước và sau khi ra mắt sản phẩm mới, phân tích lợi nhuận tối đa trước khi phát sinh chi phí hoặc biến động lớn trên thị trường.

3.2 Ngành công nghệ

Trong lập trình, kiểm tra điều kiện biên (xấp xỉ một giá trị từ một phía) là việc thường xuyên, đặc biệt khi xử lý dữ liệu lớn hoặc thuật toán cần xác định ngưỡng mà không vượt quá.

3.3 Ngành y tế

Liều lượng thuốc được kiểm soát chặt chẽ từng mức, không để quá vượt mức an toàn (xét giới hạn một phía). Xét nghiệm sinh học cũng dựa trên phân tích dữ liệu tiến sát ngưỡng từ một phía.

3.4 Ngành xây dựng

Ước tính chi phí và vật liệu xây dựng khi giá vật tư tăng dần đến một mức cố định (giới hạn bên phải), thiết kế kết cấu chịu lực vừa đủ mà không vượt quá giới hạn cho phép.

3.5 Ngành giáo dục

Thống kê điểm kiểm tra khi số liệu tiệm cận chuẩn đầu ra; phân tích hiệu quả dạy học khi số tiết học tiến đến một ngưỡng nhất định từ một phía.

4. Dự án thực hành cho học sinh

4.1 Dự án cá nhân

- Chọn một hiện tượng trong cuộc sống (ví dụ: ghi nhiệt độ mỗi phút của nước trong ấm siêu tốc) và phân tích dữ liệu, vẽ đồ thị giới hạn một phía.
- Viết báo cáo ngắn trình bày quá trình, kết quả phân tích và nhận xét.

4.2 Dự án nhóm

- Thực hiện khảo sát một vấn đề ứng dụng toán học trong cộng đồng (ví dụ: thời gian chờ xe buýt đến sát giờ cao điểm).
- Phỏng vấn các chuyên gia liên quan (giáo viên, kỹ sư,…), tổng hợp phân tích số liệu và viết báo cáo nhóm.

5. Kết nối với các môn học khác

5.1 Vật lý

Giới hạn một phía dùng khi tính tốc độ tức thời, chuyển động chạm mốc không vượt quá, phân tích biến thiên lực và gia tốc tại thời điểm sát điểm thay đổi.

5.2 Hóa học

Dùng tính nồng độ dung dịch khi pha hỗn hợp sát mức tối đa có thể hòa tan (giới hạn từ một phía), cân bằng phản ứng hóa học tiến gần đạt trạng thái hoàn toàn.

5.3 Sinh học

Thống kê số lượng tế bào hoặc số lượng gen sinh ra gần đạt cực đại, phân tích tốc độ di truyền tới gần trạng thái ổn định.

5.4 Địa lý

Phân tích dữ liệu khí tượng biến đổi nhiệt độ, tính diện tích đất khi ranh giới tự nhiên được mở rộng sát đến giới hạn nhất định.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Hãy truy cập ngay 42.226+ bài tập ứng dụng Giới hạn một phía miễn phí. Không cần đăng ký, bạn có thể luyện tập trực tiếp, củng cố kỹ năng và kết nối kiến thức với thực tế tại lớp học cũng như ngoài xã hội!

7. Tài nguyên bổ sung

  • - Sách tham khảo: "Ứng dụng toán học trong cuộc sống" của trường ĐH Tổng hợp TP.HCM
  • - Website: https://www.khanacademy.org/math/calculus-1/cs1-limits-and-continuity
  • - Ứng dụng trên điện thoại: Photomath, Microsoft Math Solver
  • - Khóa học trực tuyến: Coursera"Mathematics for Everyday Life".
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".