1. Giới thiệu về vẽ đồ thị hàm số lượng giác và tầm quan trọng

Trong chương trình toán lớp 11, vẽ đồ thị hàm số lượng giác là một nội dung trọng tâm giúp học sinh hình dung trực quan về các hàm số $\sin$, cosin, tang, cotang. Thông qua việc vẽ đồ thị, ta nhận diện đặc điểm quan trọng như chu kỳ, miền xác định, giá trị lớn nhấ $\frac{t}{nh}$ ỏ nhất và sự thay đổi của các hàm này. Đây là kỹ năng nền tảng giúp giải các bài toán nâng cao về phương trình, bất phương trình và ứng dụng thực tiễn.

2. Định nghĩa chính xác về vẽ đồ thị hàm số lượng giác

Vẽ đồ thị hàm số lượng giác là quá trình biểu diễn các hàm số dạng $y = a \, \sin(bx + c) + d$, $y = a \, \cos(bx + c) + d$, $y = a \, \tan(bx + c) + d$… trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, thể hiện quan hệ giữa biến số $x$ (góc) và giá trị của hàm số.

3. Hướng dẫn từng bước vẽ đồ thị hàm số lượng giác với ví dụ minh họa

a) Xác định các yếu tố cơ bản

Để vẽ đồ thị hàm số lượng giác, học sinh cần chú ý các yếu tố:

• Chu kỳ: Độ dài mà đồ thị lặp lại một lần, ví dụ với $y = \sin(x)$, chu kỳ là $2\pi$.
• Biên độ: Giá trị dao động lớn nhất quanh trục hoành. Với $y = a\sin(x)$, biên độ là $|a|$.
• Pha ban đầu: Hệ số $c$trong$bx + c$dịch chuyển đồ thị theo phương ngang.
• Dịch chuyển theo trục tung: Hệ số $d$nâng hoặc hạ đồ thị.

b) Quy trình chi tiết với ví dụ: Vẽ đồ thị $y = 2 \sin( x - \frac{\pi}{4} ) + 1$

1. Xác định chu kỳ: Đối với $y = 2\sin( x - \frac{\pi}{4} ) + 1$, chu kỳ là $2\pi$(vì hệ số của$x$là $1$).
2. Xác định biên độ: Biên độ là $|2| = 2$. Tức đồ thị dao động từ $y_{min} = 1 - 2 = -1$ đến$y_{max} = 1 + 2 = 3$.
3. Pha ban đầu:$-\frac{\pi}{4}$, nghĩa là toàn bộ đồ thị bị tịnh tiến sang phải một đoạn$\frac{\pi}{4}$.
4. Dịch chuyển phương đứng: Đồ thị nâng lên$1$ đơn vị so với$ext{Oy}$so với$ext{Oy}$gốc.
5. Vẽ các điểm đặc biệt: + Xác định giá trị tại $x = \frac{\pi}{4}$: $y = 2\sin( 0 ) + 1 = 1$(bắt đầu tại điểm này) + Giá trị lớn nhất tại$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$: $y = 2\sin ( \frac{\pi}{2} ) + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$+ Giá trị nhỏ nhất tại$x = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{4}$: $y = 2\sin( \frac{3\pi}{2} ) + 1 = 2 \cdot (-1) + 1 = -1$
6. Nối các điểm đó theo dạng sóng sin, đảm bảo tính đều đặn, vẽ một chu kỳ đầy đủ.

c) Minh họa bằng đồ thị mẫu (học sinh tự vẽ theo hướng dẫn trên trục$Ox$,$Oy$)

Học sinh lấy các điểm chính như trên, dùng đường mềm vẽ mượt để thể hiện sự lên xuống đều đặn của sóng $\sin$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi vẽ đồ thị lượng giác

• Với hàm$y = \tan(x)$và $y = \cot(x)$: Cần chú ý các tiệm cận đứng, ví dụ $y = \tan(x)$có tiệm cận tại$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$(k \in \mathbb{Z})$.
• Nếu hệ số $b$khác$1$, chu kỳ thay đổi thành$T = \frac{2\pi}{|b|}$cho sin/cos hoặc$T = \frac{\pi}{|b|}$cho tan/cot.
• Hàm cosin chỉ khác sin ở pha ban đầu, vì $\cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})$.
• Luôn xác định miền xác định của hàm trước khi vẽ (hàm tang và cotang bị hạn chế hơn sin/cos).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Vẽ đồ thị hàm số lượng giác giúp học tốt các bài toán về phương trình, bất phương trình lượng giác, giới hạn, đạo hàm... Ngoài ra, các hàm số lượng giác còn liên hệ chặt chẽ tới chuyển động sóng, dao động trong vật lý và các ứng dụng trong kỹ thuật.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Vẽ đồ thị $y = \cos 2x$.

1. Chu kỳ:$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
2. Biên độ:$1$. Đồ thị dao động từ $-1$ đến$1$.
3. Không dịch chuyển pha, không dịch chuyển đứng.
4. Vẽ một chu kỳ từ $x = 0$ đến$x = \pi$. +$x = 0$,$y = \cos 0 = 1$+$x = \frac{\pi}{2}$,$y = \cos \pi = -1$+$x = \pi$,$y = \cos 2\pi = 1$.

Nối các điểm trên bằng đường trơn, được một "sóng ngắn" hơn so với$y = \cos x$do chu kỳ nhỏ hơn.

Bài tập 2

Vẽ đồ thị $y = -3\sin(2x)$.

1. Biên độ:$|-3| = 3$.
2. Chu kỳ:$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
3. Đồ thị lộn ngược so với $y = \sin(2x)$ (do hệ số âm).
4. Đồ thị dao động từ $-3$ đến$3$.
5. Vẽ các điểm: + $x = 0 \rightarrow y = 0$+$x = \frac{\pi}{4} \rightarrow y = -3\sin(\frac{\pi}{2}) = -3$+$x = \frac{\pi}{2} \rightarrow y = -3\sin(\pi) = 0$+$x = \frac{3\pi}{4} \rightarrow y = -3\sin(\frac{3\pi}{2}) = 3$+$x = \pi \rightarrow y = -3\sin(2\pi) = 0$

Chú ý đồ thị là biến thể lộn ngược và co lại của $\sin x$.

7. Các lỗi thường gặp và mẹo tránh mắc lỗi

• Nhầm lẫn chu kỳ khi hệ số $b$khác$1$.
• Quên tính biên độ (hệ số $a$).
• Không để ý pha ban đầu và dịch chuyển đứng.
• Không xác định miền xác định, vẽ toàn bộ cho các hàm không xác định như $tan/cot$.

Để tránh các lỗi trên, hãy làm từng bước: xác định đủ các hệ số (a, b, c, d), chú thích các điểm đặc biệt và biểu diễn chính xác các trạng thái đặc trưng (trục đối xứng, tiệm cận, định hướng sóng).

8. Tóm tắt và các điểm cần ghi nhớ

- Biết phân tích dạng tổng quát $y = a \sin(bx + c) + d$, xác định từng hệ số đặc trưng.
- Ghi nhớ cách xác định chu kỳ, biên độ, dịch chuyển $\frac{ngang}{d}$ ọc và trạng thái đặc biệt (tiệm cận).
- Đồ thị hàm số lượng giác vô cùng quan trọng, là nền tảng cho các bài toán liên quan trong kiểm tra, thi cử cũng như ứng dụng thực tiễn.
- Luôn vẽ tối thiểu 1 chu kỳ đầy đủ để nhận diện các đặc trưng trực quan.