1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của nó trong chương trình toán học lớp 11 – Xác suất và Thống kê – Toán lớp 11 – Biến cố hợp và biến cố giao – Hướng dẫn học tập – Giải thích chi tiết – SEO: Xác định biến cố hợp và biến cố giao – keywords: biến cố

Trong chương trình Toán lớp 11, phần Xác suất và Thống kê chiếm một vị trí quan trọng, giúp học sinh hiểu các nguyên tắc cơ bản trong việc đo lường khả năng xảy ra của các sự kiện (biến cố). Trong đó, khái niệm biến cố hợp và biến cố giao là nền tảng để tính xác suất của tổ hợp sự kiện phức hợp, phục vụ cho nhiều ứng dụng thực tế như dự báo thời tiết, phân tích dữ liệu, quản lý rủi ro, v.v. Việc nắm vững biến cố hợp và biến cố giao giúp học sinh giải quyết nhanh chóng các bài toán về xác suất và làm tiền đề cho các khái niệm nâng cao như xác suất có điều kiện, biến cố độc lập.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của biến cố hợp và biến cố giao

Cho không gian mẫu (vũ trụ) $\Omega$và hai biến cố $A, B \subset \Omega$.

- Biến cố hợp (union) của$A$và $B$, kí hiệu$A \cup B$, là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố $A$hoặc$B$xảy ra. Tập hợp:

- Biến cố giao (intersection) của$A$và $B$, kí hiệu$A \cap B$, là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố $A$và $B$cùng xảy ra. Tập hợp:

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định không gian mẫu$\Omega$.

Bước 2: Liệt kê các biến cố $A, B$dưới dạng tập con của$\Omega$.

Bước 3: Lập$A \cup B$và $A \cap B$dựa trên định nghĩa.

Ví dụ 1: Tung một đồng xu công bằng.

- Không gian mẫu$\Omega = \{H, T\}$(H: ngửa, T: sấp).

- Biến cố $A =$“xu ngửa” =$\{H\}$.

- Biến cố $B =$“xu sấp” =$\{T\}$.

Ta có:

$A \cup B = \{H, T\} = \Omega$, tức là luôn xảy ra.

$A \cap B = \varnothing$, tức là không bao giờ xảy ra cùng lúc.

Ví dụ 2: Tung một con súc sắc 6 mặt cân bằng.

- Không gian mẫu$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$.

-$A =$“ra số chẵn” =$\{2,4,6\}$.

-$B =$“ra số lớn hơn 3” =$\{4,5,6\}$.

Từ đó:

$A \cup B = \{2,4,5,6\},\quad A \cap B = \{4,6\}.$

Nếu xét xác suất, với súc sắc cân bằng, ta có:

$P(A) = \frac{3}{6} = 0.5,<br />P(B) = \frac{3}{6} = 0.5,<br />P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$

Theo công thức:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.5 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}.$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$A$và $B$là biến cố rời nhau (tức$A \cap B = \varnothing$), thì $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

- Nếu $A \subset B$(hoặc$B \subset A$), thì $A \cap B = A$(hoặc$B$), và $A \cup B = B$(hoặc$A$). Cần lưu ý để tránh tính dư.

- Luôn kiểm tra tính hợp lệ: xác suất của mọi biến cố phải nằm trong khoảng$[0,1]$, và tổng xác suất không vượt quá 1.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Biến cố đối: $A^c = \Omega \setminus A$. Theo Định luật De Morgan:

$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c,<br />\quad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c.$

- Xác suất có điều kiện và biến cố độc lập: nếu$P(B)>0$, ta có $P(A|B) = \tfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Biến cố $A$và $B$ độc lập khi$P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

- Tổ hợp nhiều biến cố: khái niệm hợp và giao có thể mở rộng cho ba biến cố trở lên:$A \cup B \cup C$,$A \cap B \cap C$, v.v., cùng công thức cộng trừ để tránh đếm dư.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Trong một túi có 5 bi đỏ, 3 bi xanh và 2 bi vàng. Rút ngẫu nhiên một bi.

Xác định biến cố:

$A =$“rút được bi đỏ hoặc xanh”,
$B =$“rút được bi xanh hoặc vàng”.

Giải: Có tổng cộng 10 bi.

- $A = \{\text{đỏ (5)},\, \text{xanh (3)}\}$ , nên P(A)=\frac{8}{10}=0.8 .

- $B = \{\text{xanh (3)},\, \text{vàng (2)}\}$ , nên P(B)=\frac{5}{10}=0.5 .

-$A \cap B = \{\text{xanh (3)}\}$, nên$P(A \cap B)=\frac{3}{10}=0.3$.

- $A \cup B = \{\text{đỏ, xanh, vàng}\}$ , tổng cộng 5+3+2=10 bi, nên $P(A \cup B)=1$ .

Việc này đúng vì $A \cup B = \Omega$.

Bài tập 2: Cho$P(A)=0.3$,$P(B)=0.6$,$P(A \cap B)=0.2$. Tính$P(A \cup B)$và $P(A^c \cap B)$.

Giải: Theo công thức:

$P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B) = 0.3+0.6-0.2 = 0.7.$

Với$A^c$là biến cố đối của$A$, ta có $P(A^c)=1-0.3=0.7$và:

$P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.6 - 0.2 = 0.4.$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên trừ xác suất giao khi tính kết hợp: dễ dẫn đến kết quả lớn hơn 1.

- Nhầm lẫn giữa hợp và giao: hợp là “hoặc”, giao là “và”.

- Tính nhầm số phần tử của các tập con dẫn đến P sai. Luôn liệt kê chéo kiểm tra.

- Không kiểm tra tính rời nhau hoặc phụ thuộc giữa biến cố.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

•$A \cup B$xảy ra khi ít nhất một trong$A$hoặc$B$xảy ra.

•$A \cap B$xảy ra khi cả hai$A$và $B$xảy ra.

• Công thức tổng quát:

$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B).$

• Nếu$A, B$rời nhau,$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.

• Vận dụng khái niệm đối biến cố và công thức De Morgan để xử lý tổ hợp phức tạp.