Xác định lớp, tần số, tần suất từ bảng ghép nhóm – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Khi học thống kê trong chương trình toán học lớp 11, các em sẽ gặp các bảng số liệu lớn được chia thành những nhóm (hoặc lớp). Những khái niệm như lớp, tần số, tần suất đóng vai trò quan trọng giúp chúng ta mô tả và phân tích dữ liệu một cách ngắn gọn, chính xác. Việc xác định lớp, tần số, tần suất từ bảng ghép nhóm là kỹ năng nền tảng để xử lý số liệu thực tế và làm quen với nhiều bài toán sau này trong thống kê, xác suất cũng như các ngành khoa học ứng dụng.

2. Định nghĩa lớp, tần số, tần suất từ bảng ghép nhóm

• Lớp (Class Interval): Là các khoảng giá trị liên tiếp, không chồng lấn, dùng để phân loại dữ liệu trong bảng ghép nhóm. Một lớp thường được ký hiệu dưới dạng [$a; b$) – nghĩa là bao gồm mọi giá trị $x$thoả $a \leq x < b$.

• Tần số (Frequency): Là số lượng các giá trị của biến nằm trong một lớp nhất định.

• Tần suất (Relative Frequency): Là tỷ lệ giữa tần số của một lớp và tổng số các giá trị. Được tính bằng công thức:

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Xét một ví dụ sau: Dữ liệu điểm kiểm tra Toán của 30 học sinh lớp 11 được ghi lại và nhóm thành các lớp như bảng dưới đây:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\textbf{Lớp (Khoảng điểm)} & \textbf{Tần số} \\
\hline
[0; 2) & 2 \\
\hline
[2; 4) & 4 \\
\hline
[4; 6) & 8 \\
\hline
[6; 8) & 10 \\
\hline
[8; 10] & 6 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

• Xác định các lớp:$[0; 2)$,$[2; 4)$,$[4; 6)$,$[6; 8)$,$[8; 10]$
• Tần số: Số học sinh thuộc điểm số trong từng lớp (đã cho)
• Tính tần suất từng lớp:

Tổng số học sinh:$2 + 4 + 8 + 10 + 6 = 30$

Tần suất cho từng lớp:

+ Lớp$[0; 2)$:$\frac{2}{30} = 0,067$
+ Lớp$[2; 4)$:$\frac{4}{30} = 0,133$
+ Lớp$[4; 6)$:$\frac{8}{30} \, \approx \, 0,267$
+ Lớp$[6; 8)$:$\frac{10}{30} = 0,333$
+ Lớp$[8; 10]$:$\frac{6}{30} = 0,2$

Kiểm tra tổng tần suất:$0,067 + 0,133 + 0,267 + 0,333 + 0,2 = 1$(đúng).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Lớp cuối cùng có thể viết dạng$[a; b]$hoặc$[a; b)$tùy cách lấy dữ liệu.
- Các lớp không được chồng lấp nhau, phải liên tiếp nhau.
- Khoảng cách giữa các lớp (độ rộng lớp) nên đều nhau để phân tích thuận lợi.
- Nếu dữ liệu quá nhỏ hoặc quá lớn, nên nhóm lại thành số lượng lớp hợp lý để dễ quan sát.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Tần suất là một giá trị phần trăm nên nó liên quan đến xác suất:$0 \leq$tần suất$\leq 1$, tổng các tần suất luôn bằng 1.
- Kỹ năng xác định lớp, tần số, tần suất là bước đầu khi tính toán các số đặc trưng như: số trung bình cộng, trung vị, mốt,... từ bảng tần số.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Một lớp học có bảng số liệu nhóm về chiều cao (cm) như sau:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\textbf{Chiều cao (cm)} & \textbf{Số học sinh} \\
\hline
[150; 155) & 3 \\
\hline
[155; 160) & 6 \\
\hline
[160; 165) & 15 \\
\hline
[165; 170) & 12 \\
\hline
[170; 175) & 4 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Hãy xác định các lớp, tần số, tần suất tương ứng.

Lời giải:
• Các lớp:$[150; 155)$,$[155; 160)$,$[160; 165)$,$[165; 170)$,$[170; 175)$
• Tần số: Đã cho.
• Tổng số học sinh:$3 + 6 + 15 + 12 + 4 = 40$
• Tần suất từng lớp:
-$[150; 155)$:$\frac{3}{40} = 0,075$
-$[155; 160)$:$\frac{6}{40} = 0,15$
-$[160; 165)$:$\frac{15}{40} = 0,375$
-$[165; 170)$:$\frac{12}{40} = 0,3$
-$[170; 175)$:$\frac{4}{40} = 0,1$

\textbf{Tổng tần suất:} $0,075 + 0,15 + 0,375 + 0,3 + 0,1 = 1$ .

Bài tập 2: Trong một cuộc khảo sát về thời gian học Toán mỗi tuần, số liệu nhóm thành bảng sau:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\textbf{Số giờ học} & \textbf{Số học sinh} \\
\hline
[0; 3) & 2 \\
\hline
[3; 6) & 9 \\
\hline
[6; 9) & 16 \\
\hline
[9; 12) & 5 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Tính tần suất cho mỗi lớp.

Lời giải: Tổng học sinh:$2 + 9 + 16 + 5 = 32$
Tần suất:
-$[0; 3)$:$\frac{2}{32} = 0,0625$
-$[3; 6)$:$\frac{9}{32} \approx 0,281$
-$[6; 9)$:$\frac{16}{32} = 0,5$
-$[9; 12)$:$\frac{5}{32} \approx 0,156$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn ký hiệu lớp mở và lớp đóng đầu/cuối (bao hàm hay không bao hàm ranh giới).
- Không kiểm tra tổng tần suất có bằng 1.
- Lấy số lượng lớp quá nhiều hoặc quá ít.
- Tính tần suất sai do lấy nhầm số lượng tổng hoặc từng lớp.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Lớp là các khoảng giá trị liên tục, không chồng lấn, dùng để phân loại số liệu trong bảng nhóm.
- Tần số là số giá trị thuộc mỗi lớp.
- Tần suất là tỉ lệ của tần số từng lớp trên tổng số mẫu, biểu diễn mức độ phân bố tương đối.
- Khi thao tác bảng nhóm cần xác định rõ ràng ký hiệu các lớp, tính chính xác số lượng tổng và kiểm soát lỗi sai toán học trong mẫu.

Hi vọng bài viết đã giúp các em hiểu và thành thạo kỹ năng xác định lớp, tần số, tần suất từ bảng ghép nhóm – một kiến thức quan trọng của Toán 11 cũng như các môn học liên quan về sau.