Xác định tính độc lập của hai biến cố – Lý thuyết, công thức, ví dụ và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chuyên đề xác suất lớp 11, khái niệm "Xác định tính độc lập của hai biến cố" là một phần quan trọng. Hiểu rõ tính độc lập không chỉ giúp giải quyết các bài toán xác suất mà còn hữu ích trong suy luận logic, lập luận toán học và nhiều ứng dụng thực tiễn như kiểm tra chất lượng sản phẩm, dự báo thời tiết, xác suất trong trò chơi,... Việc nắm vững và luyện tập thành thạo lý thuyết này giúp bạn tự tin khi giải các dạng toán có yếu tố xác suất, đặc biệt trong các kỳ thi quan trọng. Đặc biệt, bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập chuyên sâu về xác định tính độc lập của hai biến cố.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Hai biến cố $A$và $B$được gọi là độc lập nếu xác suất của biến cố$A$xảy ra khi$B$ đã xảy ra bằng xác suất của$A$, hay chính là xác suất cùng xảy ra bằng tích xác suất riêng từng biến cố:

• Tính chất: Nếu$P(B) > 0$thì hai biến cố $A$,$B$ độc lập khi và chỉ khi$P(A|B) = P(A)$(xác suất có điều kiện).

• Điều kiện áp dụng: Cần đảm bảo các xác suất$P(A)$,$P(B)$đều xác định và$P(B)>0$với xác suất có điều kiện.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức xác định tính độc lập:$P(A \cap B) = P(A) P(B)$
• Cách nhớ: Độc lập nghĩa là xảy ra cùng lúc không ảnh hưởng nhau về xác suất.
• Công thức xác suất có điều kiện:$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
• Điều kiện sử dụng: Luôn đảm bảo$P(B)>0$.
• Biến thể: Độc lập mở rộng cho nhiều biến cố, song ở lớp 11 chủ yếu xét hai biến cố.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tung một đồng xu hai lần. Biến cố $A$: "Kết quả lần 1 là sấp." Biến cố $B$: "Kết quả lần 2 là ngửa." Hãy xác định$A$và $B$có độc lập không?

• Số khả năng:$(S) = \{SS, SN, NS, NN \}$(S: sấp, N: ngửa)
• Xác suất$P(A) = \dfrac{2}{4} = 0.5$
• Xác suất$P(B) = \dfrac{2}{4} = 0.5$
• Xác suất$P(A \cap B) = \dfrac{1}{4}$(chỉ có NS: lần 1 sấp, lần 2 ngửa)
• Vì $0.25 = 0.5 \times 0.5$, nên$A$và $B$ độc lập.

Lưu ý: Cần xác định đúng không gian mẫu và các biến cố thành phần.

3.2 Ví dụ nâng cao

Trong một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi không hoàn lại. Biến cố $A$: "Lấy được bi đỏ ở lần thứ nhất". Biến cố $B$: "Lấy được bi xanh ở lần thứ hai". Hai biến cố này có độc lập không?

• $P(A) = \dfrac{3}{5}$(chọn bi đầu tiên là đỏ)
• Nếu lấy đỏ ở lượt đầu, còn 2 đỏ, 2 xanh trong hộp (tổng 4 bi).$P(B|A) = \dfrac{2}{4} = 0.5$
• Nếu lấy xanh lượt đầu, còn 3 đỏ, 1 xanh trong hộp.$P(B|A^c) = \dfrac{1}{4} = 0.25$
• Tính$P(B)$toàn phần:$P(B) = P(A) P(B|A) + P(A^c) P(B|A^c) = \dfrac{3}{5} \times 0.5 + \dfrac{2}{5} \times 0.25 = 0.3 + 0.1 = 0.4$
• Kiểm tra$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \dfrac{3}{5} \times 0.5 = 0.3$
• $P(A) P(B) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$. Vì $P(A \cap B) \ne P(A) P(B)$nên hai biến cố không độc lập.

Áp dụng linh hoạt: Luôn kiểm tra xem việc lấy không hoàn lại có làm thay đổi xác suất biến cố còn lại không.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Một trong hai biến cố chắc chắn ($P(A) = 1$, hoặc$P(B)=1$): luôn độc lập với mọi biến cố.
• Một trong hai biến cố không bao giờ xảy ra ($P(A)=0$, hoặc$P(B)=0$): cũng luôn độc lập.
• Hai biến cố đối lập (bổ sung) thì không độc lập trừ trường hợp đặc biệt.

Luôn kiểm tra bằng công thức$P(A \cap B) = P(A)P(B)$, không suy đoán cảm tính.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa độc lập và rời nhau. Hai biến cố rời nhau ($P(A \cap B)=0$) chưa chắc độc lập.
• Hiểu sai độc lập là không đồng thời xảy ra. Thực chất, độc lập chỉ là xác suất xảy ra cùng lúc đúng bằng tích xác suất riêng lẻ.

5.2 Lỗi về tính toán

• Nhập nhầm xác suất, nhầm không gian mẫu.
• Không kiểm tra giá trị $P(B)>0$khi tính xác suất có điều kiện.
• Sử dụng công thức cho trường hợp không phù hợp – cần đọc kỹ đề.
• Kiểm tra lại phép nhân, cộng khi so sánh$P(A \cap B)$và $P(A)P(B)$.

Cách kiểm tra: Ghi lại các bước rõ ràng, tính từng xác suất riêng rồi so sánh bằng công thức.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập kho 42.226+ bài tập xác định tính độc lập của hai biến cố miễn phí – không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay và theo dõi tiến độ học tập thật dễ dàng. Thực hành nhiều giúp nhớ chắc kiến thức và làm chủ dạng bài này!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Nhớ công thức then chốt:$P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
• Độc lập nghĩa là xác suất không ảnh hưởng nhau.
• Luôn kiểm tra lại$P(B)>0$khi sử dụng xác suất có điều kiện.
• Đọc kỹ đề, xác định chính xác biến cố và không gian mẫu.
• Luyện tập thường xuyên để thành thạo.

Checklist ôn tập trước khi làm bài: ✔ Nắm vững định nghĩa, ✔ Thuộc công thức cơ bản, ✔ Tính xác suất chính xác, ✔ So sánh kết quả hợp lý, ✔ Tập thói quen kiểm tra lại từng bước.