1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng trong chương trình toán học

Trong chương trình Toán 11, xác suất là một chủ đề quan trọng giúp các em nhận diện và giải quyết các tình huống bất định trong đời sống và các lĩnh vực nghiên cứu khoa học. Việc "xác định tính độc lập của hai biến cố" không chỉ là một kiến thức nền tảng trong xác suất mà còn là kỹ năng quan trọng để phân biệt các tình huống ngẫu nhiên với nhau. Việc hiểu và vận dụng tốt khái niệm này hỗ trợ học sinh giải nhanh các bài toán xác suất, thiết kế các mô hình thực tiễn, đồng thời là nền tảng cho các kiến thức xác suất thống kê ở các lớp trên hoặc khi ôn thi đại học.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

Cho hai biến cố $A$và $B$trong một phép thử ngẫu nhiên. Hai biến cố này được gọi là độc lập nếu xác suất đồng thời xảy ra của$A$và $B$bằng tích xác suất của từng biến cố:

Cụ thể:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Trong đó:

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy xét một ví dụ đơn giản:

Ví dụ: Tung một đồng xu và một con xúc xắc đồng thời.

Tính các xác suất:

Kiểm tra điều kiện độc lập:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Vì $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$nên$A$và $B$là hai biến cố độc lập.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Lưu ý: Độc lập khác với rời nhau! Hai biến cố rời nhau là $P(A \cap B) = 0$, trong khi độc lập cần thỏa mãn$P(A \cap B) = P(A)P(B)$. Có thể hai biến cố vừa rời nhau, vừa không độc lập.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tính độc lập của hai biến cố liên hệ chặt chẽ với xác suất có điều kiện:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Nếu$A$và $B$độc lập thì$P(A|B) = P(A)$. Điều này nghĩa là xác suất xảy ra của$A$không bị ảnh hưởng bởi việc$B$xảy ra hay không.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Trong một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, lấy ngẫu nhiên 1 viên bi, ghi lại màu rồi trả bi đó lại hộp. Lặp lại thao tác đó lần thứ hai. Gọi$A$: Cả hai lần đều lấy được bi đỏ;$B$: Lần thứ hai lấy được bi đỏ. Hai biến cố $A$và $B$có độc lập không?

Vì $P(A \cap B) = P(A) = \frac{9}{25}$, còn$P(A) \times P(B) = \frac{9}{25} \times \frac{3}{5} = \frac{27}{125} \neq \frac{9}{25}$.

Vậy$A$và $B$không độc lập.

Bài 2: Tung hai con xúc xắc.$A$: Tổng hai số là chẵn.$B$: Xúc xắc thứ nhất ra 4.

$P(A)P(B) = 0.5 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} = P(A \cap B)$

Vậy$A$và $B$ độc lập.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Cách tránh:

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hai biến cố $A$và $B$ độc lập nếu$P(A \cap B) = P(A) P(B)$.

- Nếu$A$và $B$độc lập thì$P(A|B) = P(A)$và ngược lại.

- Cần cẩn thận khi phân biệt độc lập và rời nhau.

- Việc xác định đúng tính độc lập giúp giải quyết bài toán xác suất chính xác và nhanh chóng hơn.