Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm – Giải thích chi tiết

1. Giới thiệu về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị trong số liệu ghép nhóm

Trong chương trình Toán lớp 12, "Khoảng biến thiên" và "khoảng tứ phân vị" của mẫu số liệu ghép nhóm là hai đại lượng quan trọng để đo mức độ phân tán của dữ liệu thống kê. Những khái niệm này giúp học sinh hiểu, phân tích và trình bày dữ liệu một cách khoa học, đồng thời được ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, xã hội, nghiên cứu khoa học,... Hiểu được các đại lượng này là nền tảng vững chắc để tiếp cận các bài toán thống kê, xác suất ở các lớp cao hơn cũng như trong các kỳ thi.

2. Định nghĩa chính xác

- Khoảng biến thiên (range): Là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một mẫu số liệu.

- Khoảng tứ phân vị (interquartile range – IQR): Là hiệu số giữa tứ phân vị trên ($Q_3$) và tứ phân vị dưới ($Q_1$) của dãy số liệu. Tứ phân vị là các giá trị chia dãy số liệu thành 4 phần bằng nhau.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử bảng phân bố tần số ghép nhóm của điểm thi (số liệu đã được chia lớp):

- Tổng số quan sát:$n = 4 + 6 + 8 + 2 = 20$

a) Tính khoảng biến thiên

Khoảng biến thiên là:

Với bảng ghép nhóm,$x_{min}$là giới hạn dưới của lớp nhỏ nhất,$x_{max}$là giới hạn trên của lớp lớn nhất:

Kết luận: Khoảng biến thiên của bảng số liệu là $8$ điểm.

b) Tính khoảng tứ phân vị

+ Vị trí $Q_1$là quan sát thứ $k_1 = \frac{n}{4} = 5$.

+ Vị trí $Q_3$là quan sát thứ $k_3 = \frac{3n}{4} = 15$.

• - Bước 3: Xác định lớp chứa$Q_1$(quan sát thứ 5):

+ Lớp 1: Tích lũy tần số là 4 (chưa tới 5), lớp thứ 2 bắt đầu từ vị trí 5, vậy$Q_1$nằm trong lớp 2 (6 – 8).

• - Bước 4: Xác định lớp chứa$Q_3$(quan sát thứ 15):

+ Lớp 1+2+3: Tích lũy tần số là 4+6+8=18 > 15, nên$Q_3$nằm trong lớp 3 (8 – 10).

Áp dụng công thức tính tứ phân vị cho dữ liệu ghép nhóm:

Trong đó:

Vậy:

Tương tự với$Q_3$:

• -$L_3$= 8 (giới hạn dưới lớp 3),$F_0$= 10 (tích lũy các lớp trước),$f_3$= 8,$h$= 2.

Do đó, khoảng tứ phân vị:

Kết luận: Khoảng tứ phân vị là $2.92$ điểm.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập:

Bảng phân bố chiều cao (cm) của 30 học sinh được cho như sau:

Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu.

Tổng số học sinh$n = 30$.

- Khoảng biến thiên:$R = 170 - 150 = 20$(cm)

- Vị trí $Q_1 = \frac{n}{4} = 7.5$(tức quan sát thứ 8)

+ Tần số tích lũy lớp 1: 6, lớp 2: 16, vậy$Q_1$nằm trong lớp 2 (155-160).
+$L_1 = 155$,$F_0 = 6$,$f_1 = 10$,$h = 5$.

$Q_1 = 155 + \left[\frac{8-6}{10}\right] \times 5 = 155 + 1 = 156$

- Vị trí $Q_3 = \frac{3n}{4} = 22.5$(quan sát thứ 23)

+ Tần số tích lũy lớp 1+2+3: 24, vậy$Q_3$nằm trong lớp 3 (160-165).
+$L_3 = 160$,$F_0 = 16$,$f_3 = 8$,$h = 5$.

$Q_3 = 160 + \left[\frac{23-16}{8}\right] \times 5 = 160 + 4.375 = 164.375$

- Khoảng tứ phân vị:$IQR = 164.375 - 156 = 8.375$(cm)

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và điểm cần nhớ