Bài 1. Phương trình mặt phẳng – Khái niệm, định nghĩa và ứng dụng đầy đủ cho lớp 12

1. Giới thiệu về "phương trình mặt phẳng" và tầm quan trọng trong Toán 12

Trong chương trình Toán lớp 12, "phương trình mặt phẳng" là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng của hình học không gian. Đây không chỉ là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến hình khối, góc, tính khoảng cách, mà còn xuất hiện trong nhiều đề thi Đại học và THPT Quốc gia. Việc nắm vững kiến thức về phương trình mặt phẳng giúp học sinh tăng khả năng tư duy trừu tượng, mở rộng vốn hiểu biết Toán học và thuận lợi khi giải các dạng bài hình học không gian phức tạp.

2. Định nghĩa "phương trình mặt phẳng" – Công thức tổng quát

Một mặt phẳng trong không gian được xác định khi biết một điểm cố định nằm trên mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng:

Trong đó:

• $A, B, C$là các hệ số (không đồng thời bằng 0), đại diện cho tọa độ của vectơ pháp tuyến$\vec{n} = (A; B; C)$của mặt phẳng.
• $D$là hệ số tự do (có thể xác định thông qua một điểm$M_0(x_0; y_0; z_0)$thuộc mặt phẳng).

3. Hướng dẫn lập phương trình mặt phẳng từng bước – Ví dụ minh hoạ

Các bước cơ bản để lập phương trình mặt phẳng:

• Xác định một vectơ pháp tuyến$\vec{n}$của mặt phẳng (thông thường qua các dữ kiện bài toán).
• Chọn một điểm$M_0(x_0; y_0; z_0)$nằm trên mặt phẳng.
• Sử dụng công thức:$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$hoặc viết lại dưới dạng tổng quát:$Ax + By + Cz + D = 0$.

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm$A(1;2;3)$và có vectơ pháp tuyến$\vec{n} = (2;1;−1)$.

Áp dụng công thức:

Khai triển:

4. Các trường hợp đặc biệt & lưu ý khi áp dụng

• Nếu mặt phẳng song song hoặc vuông góc với các trục toạ độ, phương trình sẽ có các hệ số đặc biệt.
• Khi mặt phẳng đi qua gốc tọa độ, ta có $D = 0$.
• Luôn xác định đúng vectơ pháp tuyến (không đồng thời bằng 0).

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng qua điểm$B(0;1;2)$và song song mặt phẳng$(Oyz)$.

Mặt phẳng$(Oyz)$có phương trình$x=0$, vectơ pháp tuyến là $(1;0;0)$. Phương trình mặt phẳng cần tìm:

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Khái niệm "phương trình mặt phẳng" liên quan mật thiết với:
• Phương trình đường thẳng trong không gian (mặt phẳng chứa hoặc vuông góc đường thẳng),
• Công thức tính góc và khoảng cách từ một điểm hoặc đường thẳng đến mặt phẳng,
• Mối liên hệ hình học giữa các mặt phẳng trong các khối đa diện.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho mặt phẳng$(P)$ đi qua 3 điểm$A(1;0;2)$,$B(0;2;3)$và $C(2;1;0)$. Lập phương trình mặt phẳng$(P)$.

• Bước 1: Tìm hai vectơ $\vec{AB}$và $\vec{AC}$.
• $\vec{AB} = B - A = (-1;2;1)$,$\vec{AC} = (1;1;-2)$.
• Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến bằng tích có hướng:
• $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix*} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\\end{vmatrix*} = (-4;-1;-3)$$
  .
• Bước 3: Sử dụng point$A(1;0;2)$và vectơ pháp tuyến$\vec{n} = (-4;-1;-3)$:
• $-4(x-1) -1(y-0) -3(z-2) = 0 \Leftrightarrow -4x - y -3z + 11 = 0$.

Đáp số:$-4x - y - 3z + 11 = 0$hoặc$4x + y + 3z - 11 = 0$.

Bài tập 2: Lập phương trình mặt phẳng$(Q)$ đi qua điểm$D(0;0;0)$và vuông góc với mặt phẳng$(P): 2x - y + 3z - 6 = 0$.

• Mặt phẳng$(Q)$phải có vectơ pháp tuyến song song hoặc cùng phương với vectơ pháp tuyến của$(P)$, nên có dạng$2x - y + 3z + D = 0$.
• Vì đi qua$D(0;0;0)$nên$D = 0$.

Đáp số:$2x - y + 3z = 0$.

7. Những lỗi thường gặp & cách tránh khi làm bài

• Quên xác định chính xác vectơ pháp tuyến hoặc chọn nhầm điểm nằm ngoài mặt phẳng.
• Không kiểm tra lại điểm đã cho có thuộc phương trình mặt phẳng vừa lập không.
• Viết sai dấu, nhầm giữa$x$,$y$,$z$khi khai triển công thức.
• Không đưa phương trình về dạng đơn giản nhất.

Để tránh sai sót, cần luôn kiểm tra kỹ từng bước: xác định đúng vectơ pháp tuyến, sử dụng điểm đúng, khai triển cẩn thận, và thay các thông số vào kiểm tra lại kết quả.

8. Tóm tắt – Các điểm chính cần nhớ

• Phương trình tổng quát mặt phẳng:$Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó $A, B, C$là tọa độ của vectơ pháp tuyến.
• Xác định mặt phẳng qua một điểm$M_0(x_0, y_0, z_0)$và vectơ pháp tuyến$\vec{n} = (A, B, C)$bằng công thức:$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.
• Lập phương trình mặt phẳng qua 3 điểm bằng cách tìm tích có hướng của hai vectơ chỉ phương.
• Lưu ý kiểm tra lại mọi thông số và đơn giản hoá phương trình cuối cùng.

Việc nắm vững lý thuyết và luyện tập nhiều bài tập dạng "phương trình mặt phẳng" sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán trong kỳ thi THPT Quốc gia và các bài tập thực tiễn.