Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Khảo sát tính đơn điệu (tăng/giảm) và cực trị (cực đại, cực tiểu) là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình toán lớp 12. Đây là nền tảng để giải các bài toán hàm số, vẽ đồ thị, ứng dụng vào các bài toán khảo sát thực tế và là phần kiến thức bắt buộc trong các kỳ thi quan trọng như tốt nghiệp THPT và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Việc hiểu rõ khái niệm, cách xác định và vận dụng tính đơn điệu, cực trị sẽ giúp học sinh phát triển tư duy logic, kỹ năng chứng minh, giải bài toán tối ưu cũng như vận dụng hiệu quả vào thực tiễn.

2. Định nghĩa tính đơn điệu và cực trị của hàm số

a) Tính đơn điệu của hàm số:

- Hàm số $f(x)$ được gọi là đồng biến trên một khoảng$(a, b)$nếu với mọi$x_1, x_2 \ \in (a, b)$mà $x_1 < x_2$thì $f(x_1) < f(x_2)$.

- Hàm số $f(x)$ được gọi là nghịch biến trên một khoảng$(a, b)$nếu với mọi$x_1, x_2 \ \in (a, b)$mà $x_1 < x_2$thì $f(x_1) > f(x_2)$.

b) Cực trị của hàm số:

- Hàm số $y = f(x)$có cực đại tại$x_0$nếu tồn tại một khoảng chứa$x_0$sao cho$f(x) \leq f(x_0)$với mọi$x$trong khoảng đó.

- Hàm số $y = f(x)$có cực tiểu tại$x_0$nếu tồn tại một khoảng chứa$x_0$sao cho$f(x) \geq f(x_0)$với mọi$x$trong khoảng đó.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a) Cách xác định tính đơn điệu dựa trên đạo hàm:

- Cho hàm số $y = f(x)$, đạo hàm$y' = f'(x)$.

+ Nếu$f'(x) > 0$với mọi$x \ \in (a, b)$thì $f(x)$ đồng biến trên$(a, b)$.

+ Nếu$f'(x) < 0$với mọi$x \ \in (a, b)$thì $f(x)$nghịch biến trên$(a, b)$.

+ Nếu$f'(x) = 0$tại một điểm$x_0$thì $x_0$có thể là điểm cực trị của$f(x)$.

b) Các bước thực hiện:

Bước 1: Tính đạo hàm$f'(x)$.

Bước 2: Giải phương trình$f'(x) = 0$ để tìm các điểm nghi vấn (nghi ngờ là cực trị).

Bước 3: Lập bảng biến thiên. Xét dấu của$f'(x)$trên từng khoảng để kết luận về tính đơn điệu và xác định các điểm cực trị.

Bước 4: Tính giá trị cực đại, cực tiểu (nếu có) bằng cách thay các giá trị $x$vừa tìm được vào$f(x)$.

Ví dụ minh họa:

- Xét hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$trên$mathbb{R}$.

+ Bước 1: Tính đạo hàm$f'(x) = 3x^2 - 6x$.

+ Bước 2: Giải$f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x( x - 2 ) = 0 \Rightarrow x = 0$hoặc$x = 2$.

+ Bước 3: Lập bảng biến thiên xét dấu của$f'(x)$trên các khoảng$(-\infty, 0)$;$(0, 2)$;$(2, +\infty)$:

- Với$x < 0$,$f'(x) = 3x^2 - 6x > 0$⇒ đồng biến.

- Với$0 < x < 2$,$f'(x) < 0$⇒ nghịch biến.

- Với$x > 2$,$f'(x) > 0$⇒ đồng biến.

+ Bước 4: Tìm giá trị cực trị:
-$x = 0$:$f(0) = 0 - 0 + 4 = 4$(cực đại).
-$x = 2$:$f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$(cực tiểu).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Không phải mọi nghiệm của$f'(x) = 0$ đều là điểm cực trị. Cần xét thêm dấu của đạo hàm xung quanh các nghiệm đó.

Có thể có các điểm tại đó $f'(x)$không xác định nhưng$f(x)$vẫn có cực trị nếu hàm liên tục tại đó.

Trường hợp bậc nhất hoặc hàm đơn điệu: Nếu đạo hàm không đổi dấu trên tập xác định thì hàm số không có cực trị.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Tính đơn điệu và cực trị có liên quan chặt chẽ tới đạo hàm, bảng biến thiên, tiếp tuyến, giới hạn và đồ thị hàm số. Ngoài ra, xác định cực trị là bước đầu của các bài toán tối ưu hóa trong thực tiễn và cả trong các lĩnh vực khác như vật lý, kinh tế học,...

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

• Bài 1: Khảo sát tính đơn điệu và tìm các điểm cực trị của hàm$f(x) = x^3 - 3x + 2$.

Lời giải:
- Tính đạo hàm$f'(x) = 3x^2 -3$.
- Giải

.
- Lập bảng biến thiên:
- Với$x < -1$,$f'(x) > 0$⇒ đồng biến.
-$-1 < x < 1$,$f'(x) < 0$⇒ nghịch biến.
-$x > 1$,$f'(x) > 0$⇒ đồng biến.
- Giá trị cực đại tại$x = -1$:$f(-1) = (-1)^3 -3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$.
- Giá trị cực tiểu tại$x = 1$:$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$.

• Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm$f(x) = -2x^2 + 4x + 1$.

Lời giải:
-$f'(x) = -4x + 4$.
- Giải

.
- Lập bảng biến thiên:
- Với$x < 1$,$f'(x) > 0$(đồng biến).
- Với$x > 1$,$f'(x) < 0$(nghịch biến).
- Vậy$x = 1$là điểm cực đại,$f(1) = -2 + 4 + 1 = 3$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Không xét đủ các khoảng xác định hoặc bỏ sót nghiệm$f'(x) = 0$.

Nhầm lẫn dấu của đạo hàm dẫn đến nhầm khoảng đồng biến/ nghịch biến.

Mặc định mọi nghiệm của$f'(x) = 0$là điểm cực trị mà không xét dấu đạo hàm hai bên.

Không tính giá trị hàm tại điểm cực trị để kết luận sai giá trị cực đại hoặc cực tiểu.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Tính đơn điệu của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm:$f'(x) > 0$⇒ đồng biến,$f'(x) < 0$⇒ nghịch biến.

- Điểm cực trị là nơi đạo hàm bằng 0 (hoặc không xác định), cần xét dấu đạo hàm hai bên để xác định cực đại/cực tiểu.

- Lập bảng biến thiên là công cụ hữu hiệu giúp dễ dàng nhận biết khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.

- Không được mặc định mọi nghiệm của$f'(x) = 0$là điểm cực trị. Hãy luôn kiểm tra dấu đạo hàm ở hai phía.

- Kiến thức này là nền tảng cho các phần sau về khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cũng như ứng dụng thực tiễn.