1. Giới thiệu về bài toán tính giá trị gần đúng của tích phân

Tính tích phân là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt ở phân môn Giải tích. Tuy nhiên, nhiều hàm số phức tạp hoặc không có nguyên hàm đơn giản, khi gặp phải, chúng ta không thể tìm được giá trị chính xác bằng các công thức thông thường. Lúc này, phương pháp tính giá trị gần đúng của tích phân bằng máy tính cầm tay là công cụ mạnh mẽ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán thực tế hoặc các bài kiểm tra trong kỳ thi. Việc hiểu và thành thạo kỹ năng này mang lại lợi ích lớn, không chỉ trong học tập mà còn ở các môn liên quan như Vật lý, Hóa học,...

2. Định nghĩa: Tính gần đúng giá trị tích phân

Cho hàm số $f(x)$liên tục trên đoạn$[a, b]$. Giá trị của tích phân xác định:

$\int$_a^b$f(x)$dx

Được gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng$x = a$,$x = b$. Nếu không tìm được nguyên hàm, hoặc hàm số quá phức tạp, ta dùng các phương pháp số học để tính gần đúng giá trị này, trong đó dùng máy tính cầm tay là cách nhanh, đơn giản và hiệu quả nhất.

3. Hướng dẫn từng bước trên máy tính cầm tay$(Casio fx-570VN Plus)$

Hầu hết các loại máy tính cầm tay hiện đại như Casio fx-500MS, fx-570VN Plus,... đều tích hợp tính năng tính tích phân xác định. Ta sử dụng như sau:

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Tính gần đúng giá trị của tích phân:

I =$\int$_0^2 \left(x^2 + 1\right)dx

Thực hiện trên máy tính Casio fx-570VN Plus:

Đối chiếu kết quả đúng (tìm nguyên hàm):$\int_0^2 (x^2 + 1) dx = \left.\frac{x^3}{3} + x\right|_0^2 = \frac{8}{3}+2=\frac{14}{3} \approx 4.666...$

Ví dụ 2: Tính giá trị gần đúng tích phân không dễ lấy nguyên hàm:

$\int$_0^1 e^{x^2} dx

Thực hiện tương tự, thay$x^2+1$bằng$e^{x^2}$, a = 0, b = 1. Kết quả gần đúng:$\approx 1.462651746$

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi sử dụng

- Hàm số cần phải liên tục trên đoạn$[a, b]$.

- Nếu hàm số không xác định hoặc gián đoạn trong khoảng tích phân, kết quả sẽ không chính xác.

- Máy tính có thể gặp hạn chế về độ chính xác với hiệu số $b - a$rất lớn hoặc$f(x)$quá phức tạp.

- Một số máy tính yêu cầu phải dùng đúng cú pháp hàm số (chẳng hạn,$sin(x)$thay vì $sin x$).

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Tính giá trị gần đúng của tích phân gắn với các phương pháp số như phương pháp hình thang, Simpson, song máy tính đã tự động hóa quá trình này.

- Liên quan đến khái niệm diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, công cơ học,... trong Vật lý và các môn khoa học kỹ thuật.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Lời giải:

• Bài 1: Trên máy tính nhập $\int_{1}^{3} (2x + \sqrt{x}) dx$:

- Nhấn SHIFT$\int$(tích phân).

- Nhập $2x + \sqrt{x}$.

- Nhập giới hạn: a = 1; b = 3.

- Nhấn$=$, kết quả gần đúng:$\approx 13.32623792$

• Bài 2: Nhập $\sin(x)$, a = 0, b = $\pi$(dùng$\pi$ chính xác trên máy)

- Kết quả gần đúng:$\approx 2.000000000$

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

9. Tóm tắt và các điểm chính cần ghi nhớ

- Giá trị gần đúng của tích phân có thể tính dễ dàng bằng máy tính cầm tay hiện đại.

- Cần chú ý về cú pháp, các lưu ý về hàm số và giới hạn.

- Thành thạo kỹ năng này sẽ giúp giải nhanh các bài toán tích phân thực tế, đặc biệt khi không có nguyên hàm hoặc bài toán liên quan thực nghiệm.