Blog

Lớp 12

Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số bằng phần mềm Geogebra – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của vẽ đồ thị hàm số trong chương trình toán học lớp 12

Vẽ đồ thị hàm số là một kỹ năng nền tảng trong chương trình Toán lớp 12, giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ giữa biến số xxvà giá trị của hàm số y=f(x)y = f(x). Việc sử dụng phần mềm Geogebra để vẽ đồ thị góp phần trực quan hóa các khái niệm đại số và giúp học sinh tiếp cận sâu hơn với các bài toán khảo sát hàm số, nhận diện nghiệm, xác định các điểm cực trị, tiệm cận, và vùng giá trị của hàm.

Ngoài ra, Geogebra còn là công cụ mạnh mẽ trợ giúp ôn luyện, khám phá và trình bày lời giải trực quan trong các bài kiểm tra cũng như kỳ thi THPT quốc gia. Đây là kỹ năng thiết thực đảm bảo hiệu quả học tập toán học hiện đại.

2. Định nghĩa "Vẽ đồ thị hàm số bằng phần mềm Geogebra" – Khái niệm chính xác

“Vẽ đồ thị hàm số bằng phần mềm Geogebra” là thao tác sử dụng phần mềm máy tính Geogebra để biểu diễn hình học (đô thị) của một hàm số theo quy tắc đã cho, thông qua nhãnxOyxOy, cho phép khảo sát các đặc điểm hình học lẫn đại số của hàm số đó. Đồ thị thường mô tả tập hợp các điểmM(x;y)M(x;y)sao choy=f(x)y=f(x)với mỗi giá trị xxthuộc tập xác định.

Geogebra có khả năng vẽ mọi loại hàm số căn bản như bậc nhất, bậc hai, hàm phân thức hữu tỉ, bậc ba, trùng phương… Học sinh có thể dễ dàng quan sát hình dạng, xác định giao điểm với trục hoành (OxOx), trục tung (OyOy), xác định cực trị, vùng đồng biến, nghịch biến nhờ các thao tác trực quan.

3. Hướng dẫn từng bước vẽ đồ thị hàm số trên Geogebra – Ví dụ minh họa chi tiết

Chúng ta sẽ đi qua các bước cơ bản để vẽ đồ thị hàm số và minh họa bằng một ví dụ cụ thể: vẽ đồ thị hàm bậc haiy=x2−2x+1y = x^2 - 2x + 1.

Bước 1: Khởi động Geogebra và chọn chế độ “Đồ thị”Bước 2: Nhập hàm số vào hộp nhập liệu. Ví dụ, gõ: y = x^2 - 2x + 1Bước 3: Quan sát đồ thị xuất hiện. Phần mềm sẽ tự động vẽ đồ thị hàm.Bước 4: Sử dụng các công cụ trên thanh công cụ (Point, Intersection, Extremum…) để xác định các điểm đặc biệt (ví dụ: đỉnh, giao với trục, cực đại, cực tiểu…)Bước 5: Phóng to, thu nhỏ, dịch chuyển đồ thị nếu cần thiết để nghiên cứu các chi tiết.

Ví dụ minh họa cụ thể với hàm số y=x2−2x+1y = x^2 - 2x + 1:

- Nhập vào: y = x^2 - 2x + 1

- Đồ thị xuất hiện là một parabola đi qua điểm(1;0)(1;0), có đỉnh tạix=1x = 1, nhận trục đối xứng là x=1x = 1.

- Dùng công cụ Intersection để kiểm tra các điểm cắt trụcOxOx: giảix2−2x+1=0⇒x=1x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1(nghiệm kép tạix=1x = 1).

- Dùng công cụ Extremum để xác định đỉnh:xv=−b2a=1x_v = -\frac{b}{2a} = 1,yv=0y_v = 0.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi vẽ đồ thị hàm số bằng Geogebra

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất:y=ax+bcx+dy = \frac{ax+b}{cx+d}– Chú ý xác định tiệm cận đứngx=−dcx = -\frac{d}{c}và tiệm cận ngangy=acy = \frac{a}{c}.Hàm bậc ba, bậc bốn: Cần kiểm tra kỹ số lượng cực trị (cực đại, cực tiểu), điểm uốn, dạng đồ thị.Hàm chứa căn thức: Chú ý xác định tập xác định trước khi nhập để tránh sai lệch đồ thị.Hàm phân đoạn: Sử dụng lệnh piecewise trong Geogebra để biểu diễn chính xác các đoạn.

Lưu ý: Luôn kiểm tra lại tập xác định trước khi vẽ. Không nhập sai cú pháp hàm. Sử dụng lệnh đúng chuẩn toán học và tiếng Anh của phần mềm, ví dụ: sqrt(x) thay cho căn bậc hai củaxx.

5. Mối liên hệ giữa vẽ đồ thị hàm số với các khái niệm toán học khác

- Khảo sát hàm số: Đồ thị là phần trực quan cuối cùng của quá trình khảo sát hàm số (xét tính đồng biến, nghịch biến, cực trị, giới hạn, tiệm cận…).

- Phương trình, bất phương trình: Xác định nghiệm củaf(x)=0f(x)=0, miền(f(x)>0,f(x)<0)(f(x)>0, f(x)<0)nhờ giao cắt với trục hoành.

- Ứng dụng thực tế: Vẽ đồ thị hàm số giúp áp dụng toán học trong các bài toán vật lý, kinh tế, địa lý…

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Vẽ đồ thị hàm số y=−2x2+4x−1y = -2x^2 + 4x - 1bằng Geogebra, xác định đỉnh, các trục đối xứng, và giao điểm với các trục.

Bài giải:

Nhập hàm số vào Geogebra: y = -2x^2 + 4x - 1Tìm đỉnh:xv=−b2a=−4−4=1x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{-4} = 1,yv=−2⋅12+4⋅1−1=−2+4−1=1y_v = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 1 = -2 + 4 - 1 = 1. ĐỉnhA(1;1)A(1;1).Giao với trụcOyOy:x=0x = 0,y=−1y = -1. ĐiểmB(0;−1)B(0; -1).Giao với trục OxOx: −2x2+4x−1=0⇔2x2−4x+1=0-2x^2 + 4x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x^2 - 4x + 1 = 0\Δ=(−4)2−4⋅2⋅1=16−8=8\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8\x1=4+84=4+224=1+22x_1 = \frac{4 + \sqrt{8}}{4} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; x2=1−22x_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}Sau khi bấm điểm, dùng lệnh hoặc công cụ Intersection để xác định chính xác các giao điểm.Quan sát đồ thị để kiểm tra hình dáng (parabol úp xuống, trục đối xứngx=1x = 1).

Bài tập 2: Vẽ hàm số y=2x−3x+1y = \frac{2x-3}{x+1}, xác định các tiệm cận và minh họa trên Geogebra.

Bài giải:

Nhập hàm số y = (2x-3)/(x+1) vào Geogebra.Xác định tiệm cận đứng:x+1=0⇒x=−1x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1.Xác định tiệm cận ngang:lim⁡x→∞y=2\lim_{x \to \infty} y = 2(vì hệ số bậc cao nhất trên/bậc cao nhất dưới).Có thể vẽ trực tiếp tiệm cận bằng cách nhậpx=−1x = -1và y=2y = 2vào ô hàm số của Geogebra.Quan sát và so sánh chính xác giữa đồ thị và thông tin lý thuyết đã dự đoán.

7. Những lỗi thường gặp khi vẽ đồ thị bằng Geogebra và cách tránh

Nhập sai hàm số, đặc biệt là với các hàm có nhiều dấu ngoặc hoặc phân thức.Không xác định đúng tập xác định của hàm, dẫn đến đồ thị thiếu hoặc sai.Quên chuyển đổi cách viết dấu lũy thừa, căn bậc hai theo đúng cú pháp Geogebra (ví dụ '^' viết thay cho lũy thừa).Nhập nhầm biến, đặc biệt khi hàm có nhiều biến hoặc biến không phải 'x'.Quên lưu bài làm hoặc chụp màn hình kết quả để nộp bài.

Cách tránh: Học sinh nên kiểm tra lại cú pháp, xác định rõ tập xác định trên giấy trước khi nhập lệnh. Khi gặp lỗi, đọc thông báo từ Geogebra để sửa cú pháp hoặc kiểm tra dạng hàm nhập vào đúng chưa.

8. Tóm tắt kiến thức – Các điểm chính cần nhớ

Phần mềm Geogebra giúp vẽ nhanh, chính xác và trực quan mọi loại hàm số phổ biến trong chương trình Toán lớp 12.Cần xác định đúng tập xác định của hàm số trước khi nhập.Nên sử dụng đầy đủ các công cụ của Geogebra như Intersection, Extremum để hỗ trợ quá trình khảo sát.Kiểm tra và đối chiếu đồ thị với lý thuyết đã học để phát hiện sai lệch hoặc lỗi nhập lệnh.Đồ thị hàm số là công cụ quan trọng khi giải phương trình, khảo sát cực trị, xác định miền dương âm, tìm tiệm cận,... trong ôn tập và thi cử.

Hãy luyện tập thường xuyên với Geogebra để thành thạo kỹ năng vẽ đồ thị hàm số – đây là một kỹ năng thiết yếu trong chương trình toán học lớp 12 và các kỳ thi quan trọng.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".