Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian (Lý thuyết chi tiết và hướng dẫn giải bài tập lớp 12)

1. Giới thiệu về khái niệm vectơ và tầm quan trọng trong toán học

Trong chương trình Toán lớp 12, chủ đề “Vectơ và các phép toán trong không gian” đóng vai trò nền tảng cho việc học các kiến thức về hình học không gian. Việc nắm vững bản chất và cách vận dụng các phép toán với vectơ giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài toán về đường thẳng, mặt phẳng, xác định vị trí và quan hệ giữa các đối tượng hình học trong không gian. Ngoài ra, vectơ còn được sử dụng rộng rãi trong vật lý, tin học, kỹ thuật… nên rất cần thiết cho việc học tập và áp dụng thực tiễn.

2. Định nghĩa vectơ trong không gian

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng trong không gian, được xác định bởi hai điểm: điểm đầu$A$và điểm cuối$B$, ký hiệu là$\vec{AB}$.

Mỗi vectơ có hai thuộc tính quan trọng:

• Điểm đặt (điểm đầu và điểm cuối)
• Độ dài (magnitude): chính là khoảng cách giữa hai điểm đầu-cuối
• Hướng (direction): hướng từ điểm đầu tới điểm cuối

Trong hệ tọa độ Oxyz, một vectơ thường được biểu diễn bởi ba thành phần ứng với ba trục tọa độ:$<br />\vec{a} = (a_1;a_2;a_3)$, trong đó $a_1, a_2, a_3$lần lượt là hoành độ, tung độ và cao độ của vectơ.

Hai vectơ $<br />\vec{a}$và $<br />\vec{b}$ được coi là bằng nhau khi chúng cùng độ dài và cùng hướng.

3. Các phép toán với vectơ trong không gian

Có ba phép toán cơ bản với vectơ trong không gian: phép cộng, phép nhân với số thực, và phép trừ vectơ. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng phép toán cùng ví dụ minh họa.

3.1. Phép cộng và phép trừ vectơ (Cộng, trừ các vectơ cùng hệ trục tọa độ)

Cho hai vectơ $<br />\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$và $<br />\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$, ta có:

Cộng:

$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1;\a_2 + b_2;\a_3 + b_3)$

Trừ:

$\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1;\a_2 - b_2;\a_3 - b_3)$

Ví dụ: Cho$\vec{a} = (2; 1; 3)$,$\vec{b} = (4; -1; 2)$. Tính$\vec{a} + \vec{b}$và $\vec{a} - \vec{b}$.

Ta có:

$\vec{a} + \vec{b} = (2 + 4; 1 + (-1); 3 + 2) = (6; 0; 5)$
$\vec{a} - \vec{b} = (2 - 4; 1 - (-1); 3 - 2) = (-2; 2; 1)$

3.2. Phép nhân vectơ với số thực

Nếu$k$là một số thực và $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$thì:

$k\vec{a} = (k a_1; k a_2; k a_3)$

Ví dụ:$2\vec{a} = 2 \cdot (2; 1; 3) = (4; 2; 6)$.

3.3. Độ dài của một vectơ trong không gian

Độ dài (hay còn gọi là môđun) của vectơ $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$là:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Ví dụ: Với $\vec{a} = (2;1;3)$thì $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$.

3.4. Tích vô hướng (Tích chấm) hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$,$\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$, tích vô hướng là:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

Ý nghĩa hình học: Tích vô hướng còn được biểu diễn bởi công thức$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$, với$\alpha$là góc xen giữa hai vectơ.

Ví dụ:$\vec{a} = (2;1;3)$,$\vec{b} = (4; -1; 2)$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = 8 -1 + 6 = 13$

$\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong không gian 3 chiều: $\vec{a} = (1, 2, 3)$ , $\vec{b} = (2, 1, -1)$ , $\vec{a}+\vec{b} = (3, 3, 2)$ và $\vec{a}-\vec{b} = (-1, 1, 4)$ ." title="Hình minh họa: Minh họa phép cộng và phép trừ vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong không gian 3 chiều: $\vec{a} = (1, 2, 3)$ , $\vec{b} = (2, 1, -1)$ , $\vec{a}+\vec{b} = (3, 3, 2)$ và $\vec{a}-\vec{b} = (-1, 1, 4)$ ." class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

3.5. Tích có hướng (Tích vectơ) hai vectơ

Tích có hướng của hai vectơ $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$và $\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$là vectơ $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$có tọa độ:

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2;\a_3 b_1 - a_1 b_3;\a_1 b_2 - a_2 b_1)$

Ý nghĩa hình học: Kết quả là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$. Độ dài: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|\ |\vec{b}|\ |\sin \alpha|$, với $\alpha$ là góc xen giữa hai vectơ.

4. Các trường hợp đặc biệt & lưu ý khi áp dụng

• Hai vectơ cùng phương khi tồn tại$k \neq 0$sao cho$\vec{a} = k \vec{b}$.
• Hai vectơ vuông góc khi$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
• Ba vectơ đồng phẳng nếu$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hiểu và dùng thành thạo phép toán với vectơ là tiền đề quan trọng để học sâu hơn về:
- Phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong không gian
- Các phép chuyển động, phép quay, đối xứng trục và mặt phẳng
- Ứng dụng trong vật lý: tính lực, vận tốc, mô phỏng chuyển động…

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho điểm$A(1;2;3)$,$B(4;-2;5)$và $C(2;1;0)$. Hãy tính:
(a) Vectơ $\vec{AB}$,$\vec{BC}$;
(b) Độ dài$\vec{AB}$;
(c)$\vec{AB} + \vec{BC}$;
(d) Tích vô hướng$\vec{AB} \cdot \vec{BC}$;
(e) Tích có hướng$\vec{AB} \times \vec{BC}$.

Lời giải:

(a) $\vec{AB} = (4-1; -2-2; 5-3) = (3; -4; 2)$
$\vec{BC} = (2-4; 1-(-2); 0-5) = (-2; 3; -5)$
(b) $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{9+16+4} = \sqrt{29}$
(c) $\vec{AB} + \vec{BC} = (3+(-2); -4+3; 2+(-5)) = (1; -1; -3)$
(d) $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 3 \times (-2) + (-4)\times 3 + 2 \times (-5) = -6 -12 -10 = -28$
(e) $\vec{AB} \times \vec{BC} =$

Bài 2: Cho$\vec{a} = (5; 0; 4)$và $\vec{b} = (2; -3; 1)$. Tìm góc giữa hai vectơ.

Lời giải:

Ta có $\vec{a} \cdot \vec{b}= 5 \times 2 + 0 \times (-3) + 4 \times 1 = 10 + 0 + 4 = 14$.
$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 0 + 16} = \sqrt{41}$
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4+9+1} = \sqrt{14}$
$<br />\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\ |\vec{b}|} = \frac{14}{\sqrt{41}\sqrt{14}}$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn vị trí điểm đầu – điểm cuối khi xác định vectơ: phải lấy điểm cuối trừ điểm đầu.
• Khi cộng, trừ vectơ phải cộng/trừ từng thành phần tương ứng chứ không phải tổng các đại lượng.
• Tính tích vô hướng dùng đúng công thức (không nên nhầm với phép cộng vectơ).
• Kiểm tra kỹ thứ tự khi tính tích có hướng vì kết quả thay đổi nếu đảo thứ tự các vectơ.

8. Tóm tắt & các điểm chính cần nhớ

• Vectơ là đoạn thẳng có hướng, xác định bởi hai điểm.
• Công thức xác định vectơ bằng tọa độ:
  $$\vec{AB} = (x_B - x_A;$$
  y_B - y_A;
  z_B - z_A)
  .
• Các phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với số thực thực hiện trên từng thành phần tương ứng.
• Tích vô hướng dùng để xét góc, tính công, kiểm tra vuông góc.
• Tích có hướng dùng xác định độ vuông góc, hướng của vectơ mới.
• Nắm vững kiến thức vectơ để học tốt các chương về hình học không gian.