Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

Giới thiệu về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trong chương trình Toán lớp 12, việc xác định giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là một chủ đề vô cùng quan trọng. Không chỉ là nền tảng cho khảo sát hàm số, nó còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các bài toán tối ưu. Đây cũng là chuyên đề xuất hiện thường xuyên trong các kỳ thi THPT Quốc gia và các kỳ thi quan trọng khác. Nắm vững kỹ năng này sẽ giúp học sinh chủ động giải quyết các dạng toán ứng dụng đạo hàm, lập luận logic và hiểu sâu bản chất của hàm số.

Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Cho hàm số $y = f(x)$xác định trên tập$D$.

- Số $M$được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số$f(x)$trên$D$nếu$f(x) \leq M$với mọi$x \in D$và tồn tại$x_0 \in D$sao cho$f(x_0) = M$. Ký hiệu:$\max_{x \in D} f(x) = M$.

- Số $m$được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số$f(x)$trên$D$nếu$f(x) \geq m$với mọi$x \in D$và tồn tại$x_0 \in D$sao cho$f(x_0) = m$. Ký hiệu:$\min_{x \in D} f(x) = m$.

Các bước xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và ví dụ minh họa

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn hoặc tập xác định, ta thực hiện các bước như sau:

• Xác định tập xác định$D$của hàm số cần khảo sát.
• Tìm các điểm$x$trong$D$sao cho$f'(x) = 0$hoặc$f'(x)$không xác định (các điểm tới hạn).
• Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các biên của$D$(đặc biệt với các đoạn$[a,b]$).
• So sánh các giá trị vừa tính được; giá trị lớn nhất là giá trị lớn nhất trong số đó, và giá trị nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^2 - 4x + 5$trên đoạn$[0, 4]$.

Giải:

• Tập xác định:$x \in [0,4]$.
• Tính đạo hàm:$f'(x) = 2x - 4$.
• Giải$f'(x)=0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x=2$.
• Các điểm cần xét:$x=0$,$x=2$,$x=4$.

Tính giá trị tại các điểm này:

• $f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 5 = 5$
• $f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$
• $f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 5 = 16 - 16 + 5 = 5$

Vậy$\max_{x \in [0,4]} f(x) = 5$,$\min_{x \in [0,4]} f(x) = 1$.

Một số trường hợp đặc biệt và lưu ý khi xác định GTLN, GTNN

• Nếu hàm số xác định trên đoạn$[a,b]$, thực hiện đúng đầy đủ xét cả trị tại biên vì GTLN, GTNN có thể đạt tại biên.
• Nếu hàm số xác định trên khoảng vô hạn$(a, +\infty)$hoặc$(-\infty, b)$, có thể không có GTLN hoặc GTNN (cần xét giới hạn).
• Nếu trong khoảng giá trị không bị chặn trên dưới, hàm số không có GTLN, GTNN.

Lưu ý: Phải kiểm tra tất cả các điểm tới hạn (đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định) và các điểm biên (nếu có) để không bị bỏ sót nghiệm cần xét.

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị (cực đại, cực tiểu), trong đó các điểm cực trị của hàm số thường là ứng viên của GTLN, GTNN.
• Bài toán tối ưu trong thực tế (vận tải, hình học, kinh tế,...) đều quy về tìm GTLN, GTNN của một hàm số.
• Liên hệ với khảo sát hàm số: Để vẽ đồ thị chính xác, cần biết các điểm mà hàm số đạt GTLN, GTNN trên tập xác định.

Một số bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$trên đoạn$[-2, 3]$.

Giải:

• Tập xác định:$x \in [-2, 3]$.
• Tính đạo hàm:$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$.
• Giải$6x^2 -6x -12 = 0 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Leftrightarrow (x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x=2$hoặc$x=-1$.
• Các điểm cần xét:$x = -2; -1; 2; 3$.

Tính giá trị tại các điểm:

• $f(-2) = 2(-8) - 3(4) - 12(-2) + 1 = -16 - 12 + 24 + 1 = -4 + 1 = -3$
• $f(-1) = 2(-1) - 3(1) - 12(-1) + 1 = -2 - 3 + 12 + 1 = 8$
• $f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 1 = 16 - 12 - 24 + 1 = 16 - 36 + 1 = -19$
• $f(3) = 2(27) - 3(9) - 12(3) + 1 = 54 - 27 - 36 + 1 = 54 - 63 + 1 = -8$

So sánh: GTLN là 8 tại$x=-1$, GTNN là $-19$tại$x=2$.

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x}$trên đoạn$[1, 3]$.

Giải:

• Tập xác định:$x \in [1, 3]$.
• Tính đạo hàm:$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
• Giải$f'(x) = 0$không có nghiệm.
• Xét tại$x=1$và $x=3$:

• $f(1) = 1$,$f(3) = \dfrac{1}{3}$

Kết luận: GTLN là 1 tại$x=1$, GTNN là $\dfrac{1}{3}$tại$x=3$.

Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên xét các giá trị tại biên khi hàm số xác định trên đoạn.
• Chỉ xét nghiệm của$f'(x) = 0$mà bỏ qua điểm$f'(x)$không xác định.
• Lẫn lộn giữa cực trị với GTLN, GTNN (cực trị có thể không phải là GTLN, GTNN trên đoạn).
• Không kiểm tra tập xác định, dẫn đến chọn giá trị ngoài tập xác định.

Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• GTLN, GTNN của hàm số là vấn đề trung tâm trong Toán học lớp 12 và các kỳ thi lớn.
• Luôn xét đủ các điểm tới hạn và các điểm biên (nếu có) khi tìm GTLN, GTNN.
• Chú ý kiểm tra tập xác định trong mọi bước giải.
• Kỹ năng này liên hệ mật thiết với khảo sát hàm số, giải bài toán thực tế và các chủ đề tích phân, đạo hàm.

Việc thành thạo cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán tối ưu, chuẩn bị vững vàng cho các kỳ thi THPT Quốc gia và tiếp cận các lĩnh vực toán học cao hơn.