Bài 2: Tọa độ của vector trong không gian - Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm tọa độ của vector trong không gian

Tọa độ của vector trong không gian là một khái niệm nền tảng trong hình học không gian và đại số tuyến tính. Đối với học sinh lớp 12, việc hiểu và vận dụng thành thạo tọa độ vector không gian sẽ giúp giải quyết nhiều dạng bài tập liên quan đến điểm, đường thẳng, mặt phẳng, cũng như ứng dụng trong vật lý và các lĩnh vực kỹ thuật. Việc sử dụng tọa độ giúp chúng ta biểu diễn các vector một cách cụ thể, nhờ đó dễ dàng thực hiện các phép toán như cộng, trừ, nhân với số, xác định góc giữa hai vector, kiểm tra tính đồng phẳng, v.v.

2. Định nghĩa chính xác về tọa độ của vector trong không gian

Trong không gian 3 chiều Oxyz, mỗi điểm$A$có tọa độ $(x_A, y_A, z_A)$. Vector$\vec{AB}$là vector đi từ điểm$A(x_A, y_A, z_A)$ đến điểm$B(x_B, y_B, z_B)$. Tọa độ của vector$\vec{AB}$ là:

$\vec{AB} = (x_B - x_A,\y_B - y_A, \z_B - z_A)$

Ví dụ, nếu$A$có tọa độ $(1, 2, -3)$và $B$có tọa độ $(2, -1, 4)$thì$\vec{AB} = (2-1,\ -1-2,\ 4-(-3)) = (1, -3, 7)$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm đầu, cuối của vector.
Bước 2: Áp dụng công thức trừ tọa độ để xác định các thành phần của vector.

Ví dụ 1: Cho$A(3, 2, 1)$và $B(1, 4, 7)$. Tính tọa độ$\vec{AB}$.

Lời giải:

•$x$-thành phần:$1 - 3 = -2$
•$y$-thành phần:$4 - 2 = 2$
•$z$-thành phần:$7 - 1 = 6$

$herefore\ \vec{AB} = (-2, 2, 6)$

Ghi chú: Vector$\vec{OA}$với$O(0,0,0)$và $A(a,b,c)$thì $\vec{OA} = (a, b, c)$. Điều này cũng áp dụng cho các vector bất kỳ khi biết tọa độ hai điểm đầu - cuối.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$A$và $B$trùng nhau,$\vec{AB} = (0,0,0)$- đây là vector không.
- Nếu một vector song song với một trục tọa độ, nó sẽ có chỉ một thành phần khác không. Ví dụ,$\vec{u} = (a, 0, 0)$(song song trục Ox).
- Nếu một vector nằm trong mặt phẳng Oxy, thành phần$z = 0$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Phép cộng, trừ hai vector: Nếu $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$và $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$thì $\vec{u} + \vec{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3)$.
- Tích vô hướng: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$.
- Độ dài vector: $|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$.
- Tính góc giữa hai vector, kiểm tra tính đồng phẳng.

6. Bài tập mẫu & Lời giải chi tiết

Bài tập 1:
Cho$M(1, 2, 5)$,$N(4, 0, 7)$. Tính tọa độ $\vec{NM}$.

Lời giải: Áp dụng công thức:$\vec{NM} = (1-4, 2-0, 5-7) = (-3, 2, -2)$.

Bài tập 2:
Cho$A(0, 1, -2)$,$B(2, -3, 1)$,$C(-1, 4, 0)$. Tín

a) Tọa độ $\vec{AB}$và $\vec{AC}$:

$\vec{AB} = (2-0, -3-1, 1-(-2)) = (2, -4, 3)$
$\vec{AC} = (-1-0, 4-1, 0-(-2)) = (-1, 3, 2)$

b) Tính tọa độ $\vec{u} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC}$

$2\vec{AB} = (4, -8, 6)$
$3\vec{AC} = (-3, 9, 6)$
$\Rightarrow 2\vec{AB} - 3\vec{AC} = (4-(-3), -8-9, 6-6) = (7, -17, 0)$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm thứ tự trừ tọa độ: Luôn lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu. Ví dụ với$\vec{AB} = B - A$(không phải$A - B$).
- Quên dấu âm khi có các thành phần âm.
- Lẫn lộn giữa điểm và vector: Số lượng thành phần giống nhau nhưng ý nghĩa hoàn toàn khác nhau.
- Ghi thiếu tham số: Tọa độ vector phải đủ ba thành phần (x, y, z) trong không gian.

8. Tóm tắt & các điểm chính cần nhớ

- Tọa độ vector trong không gian xác định bằng hiệu hai điểm đầu-cuối.
- Biết cách áp dụng chính xác công thức.
- Sử dụng thành thạo các phép toán vector dựa vào tọa độ.
- Cẩn thận dấu và thứ tự trừ khi xác định tọa độ vector.

Tọa độ vector trong không gian là công cụ thiết yếu để chuyển đổi các bài toán hình học thành bài toán đại số, dễ dàng cho việc tính toán, chứng minh cũng như ứng dụng thực tế.