Bài 2: Tọa độ của vector trong không gian – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong hình học không gian, việc xác định vị trí và phương hướng của các đối tượng như điểm, đường thẳng, mặt phẳng rất quan trọng. "Tọa độ của vector trong không gian" là một công cụ nền tảng giúp ta biểu diễn đại số các đối tượng hình học, rút ngắn quá trình tính toán và tư duy hình học. Đây là kiến thức quan trọng bậc nhất trong chương Vectơ - hình học không gian của chương trình toán lớp 12.

2. Định nghĩa chính xác khái niệm tọa độ của vector trong không gian

Trong hệ trục tọa độ Oxyz (hệ tọa độ Đề-các ba chiều), mỗi điểm$A$được xác định bởi tọa độ$(x_A; y_A; z_A)$. Nếu$A(x_A; y_A; z_A)$và $B(x_B; y_B; z_B)$là hai điểm, thì vector$\overrightarrow{AB}$ được biểu diễn trong không gian bởi:

Tức là, tọa độ của vector chính là hiệu tương ứng các tọa độ giữa điểm cuối và điểm đầu. Từ đó, mỗi vector$\vec{a}$bất kỳ đều có thể biểu diễn bởi bộ ba số $(a_1; a_2; a_3)$. Khi đó ta ký hiệu$\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$.

3. Giải thích chi tiết từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử $A(1;2;3)$và $B(4;0;5)$là hai điểm trong không gian tọa độ.

1. Bước 1: Xác định tọa độ điểm đầu$A(x_A; y_A; z_A)$và điểm cuối$B(x_B; y_B; z_B)$.
2. Bước 2: Tìm hiệu tọa độ tương ứng:
3. $x_B - x_A = 4 - 1 = 3$
4. $y_B - y_A = 0 - 2 = -2$
5. $z_B - z_A = 5 - 3 = 2$

Vậy,$\overrightarrow{AB} = (3; -2; 2)$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu hai điểm trùng nhau ($A \equiv B$), $\overrightarrow{AB} = (0; 0; 0)$ (vector-không).
• Nếu một trong các tọa độ trùng nhau (ví dụ $x_A = x_B$), thì thành phần tương ứng của vector có giá trị 0.
• Tọa độ của vector không phụ thuộc vào vị trí gốc toạ độ, chỉ phụ thuộc vào sự chênh lệch.

Lưu ý: Khi áp dụng phải xác định đúng điểm đầu, điểm cuối để tránh nhầm dấu (+/-) trong từng thành phần.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Các phép toán về vector trong không gian như cộng, trừ, nhân với số thực, tích vô hướng, tích có hướng đều thực hiện trên các toạ độ:

• Cộng hai vector:$\vec{a} = (a_1,a_2,a_3)$,$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \Rightarrow \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2;a_3 + b_3)$
• Nhân với số thực$k$:$k\vec{a} = (k a_1; k a_2; k a_3)$
• Tính độ dài: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
• Ứng dụng trong xác định phương trình mặt phẳng, đường thẳng, chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai vector cùng phương, vuông góc,…

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

- Bài tập 1: Cho$A(1;-1;0)$,$B(4;2;6)$. Tìm tọa độ $\overrightarrow{AB}$.

Giải:

1. $x_B - x_A = 4 - 1 = 3$
2. $y_B - y_A = 2 - (-1) = 3$
3. $z_B - z_A = 6 - 0 = 6$

Vậy$\overrightarrow{AB} = (3; 3; 6)$.

- Bài tập 2: Xác định độ dài của vector$\vec{a} = (2; -3; 6)$.

Giải: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

- Bài tập 3: Cho điểm$C(2; 3; 4)$. Tìm toạ độ vector$\overrightarrow{OC}$, với$O$là gốc tọa độ.

Giải:$\overrightarrow{OC} = (2-0; 3-0; 4-0) = (2;3;4)$

- Bài tập 4: Tìm tọa độ vector$\vec{b}$biết$\vec{b}$nối hai điểm$M(-2; 5; 1)$và $N(0; 1; 4)$.

Giải:$\vec{b} = (0 - (-2); 1 - 5; 4 - 1) = (2; -4; 3)$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Xác định sai điểm đầu, điểm cuối (dẫn đến nhầm dấu thành phần). Luôn kiểm tra kỹ thứ tự phép trừ.
• Quên cộng (hoặc trừ) đúng dấu của các số âm, đặc biệt khi$y_B$hoặc$z_A$là số âm.
• Viết sai ký hiệu hoặc thứ tự thành phần vector (phải luôn theo thứ tự $x, y, z$).

Để tránh các lỗi này, hãy viết rõ ràng từng bước, sử dụng dấu ngoặc nếu cần thiết để tránh nhầm lẫn khi tính toán.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Tọa độ của vector$\overrightarrow{AB}$trong không gian là hiệu tương ứng của các tọa độ điểm cuối và điểm đầu.
• Cần xác định đúng điểm đầu – điểm cuối để tránh nhầm dấu.
• Toạ độ vector giúp thực hiện các phép toán đại số trong hình học không gian dễ dàng và chính xác.
• Các ứng dụng quan trọng: tìm độ dài vector, tính góc giữa 2 vector, xác định điều kiện thẳng hàng, đồng phẳng,...
• Luôn trình bày rõ ràng từng thành phần khi giải các bài toán liên quan.

Kỹ năng thành thạo về tọa độ của vector là nền tảng để chinh phục mọi bài toán hình học không gian trong chương trình Toán lớp 12 cũng như khi học lên bậc cao hơn.