Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số – Giải thích chi tiết
Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số – Giải thích chi tiết
1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng
Trong chương trình Giải tích lớp 12, khái niệm đường tiệm cận giúp học sinh hiểu rõ hành vi của đồ thị hàm số khi biến số tiến tới giá trị đặc biệt hoặc vô cùng. Việc xác định tiệm cận giúp ta nắm bắt được hình dạng tổng quát và sự biến thiên của đồ thị, đồng thời ứng dụng trong nghiên cứu sự liên tục, đạo hàm và tích phân.
2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng
Đường tiệm cận của đồ thị hàm số bao gồm ba loại chính:
• Tiệm cận đứng (vertical asymptote): Đường thẳnglà tiệm cận đứng nếu ít nhất một trong hai giới hạn bên trái hoặc bên phải của hàm số khibằng.
• Tiệm cận ngang (horizontal asymptote): Đường thẳnglà tiệm cận ngang nếuhoặc.
• Tiệm cận xiên (oblique asymptote): Đường thẳnglà tiệm cận xiên nếu
3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa
Chúng ta xét hàm số
Bước 1: Xác định tiệm cận đứng. Giải phương trình mẫu bằng 0:.
Kiểm tra giới hạn bên trái và bên phải:
,.
Vậylà tiệm cận đứng.
Bước 2: Xác định tiệm cận ngang. Tính giới hạn khi:
.
Vậy đường thẳnglà tiệm cận ngang.
Ví dụ 2: Tiệm cận xiên với hàm số bậc cao
Xét. Thực hiện phép chia đa thức:
Ta có tiệm cận xiên dạngvì
4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng
• Khi tử và mẫu cùng bậc: tiệm cận ngang tại hệ số cao nhất.
• Khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu hơn 1: không có tiệm cận ngang hay xiên.
• Khi có nhân tử hủy: phải rút gọn trước khi xác định tiệm cận đứng.
5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác
Khái niệm tiệm cận gắn chặt với giới hạn, đặc biệt giới hạn vô cùng và tại vô cùng. Ngoài ra, nhận biết tiệm cận xiên đòi hỏi phân tích phép chia đa thức, một kỹ năng cơ bản trong đại số. Hiểu tiệm cận hỗ trợ trong việc vẽ đồ thị hàm số và nghiên cứu sự biến thiên.
6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết
Bài tập 1: Xác định các tiệm cận của hàm số .
Lời giải:
- Tiệm cận đứng: giải. Kiểm tra giới hạn vô cùng: thoả mãn nênlà tiệm cận đứng.
- Tiệm cận ngang: bậc tử và mẫu bằng nhau, hệ số bậc cao nhất là . Vậy.
Bài tập 2: Tìm tiệm cận xiên của.
Lời giải: Chia đa thức:Vì phần dư bậc thấp hơn nên tiệm cận xiên là .
7. Các lỗi thường gặp và cách tránh
• Bỏ sót việc kiểm tra giới hạn hai phía khi xác định tiệm cận đứng.
• Nhầm lẫn giữa tiệm cận ngang và tiệm cận xiên khi độ bậc tử = mẫu.
• Quên rút gọn trước khi giải phương trình mẫu.
8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ
- Tiệm cận đứng: kiểm tra giới hạn vô cùng tại.
- Tiệm cận ngang: giới hạn tại vô cùng cho giá trị .
- Tiệm cận xiên: phép chia đa thức cho dạngvà giới hạn phần dư về 0.
Nắm vững các bước này giúp việc nghiên cứu và vẽ đồ thị hàm số trở nên chính xác và nhanh chóng.
Tác giả
Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Theo dõi chúng tôi tại