Blog

Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số – Giải thích chi tiết

T
Tác giả
8 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số – Giải thích chi tiết

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Giải tích lớp 12, khái niệm đường tiệm cận giúp học sinh hiểu rõ hành vi của đồ thị hàm số khi biến số tiến tới giá trị đặc biệt hoặc vô cùng. Việc xác định tiệm cận giúp ta nắm bắt được hình dạng tổng quát và sự biến thiên của đồ thị, đồng thời ứng dụng trong nghiên cứu sự liên tục, đạo hàm và tích phân.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số bao gồm ba loại chính:

• Tiệm cận đứng (vertical asymptote): Đường thẳngx=ax=alà tiệm cận đứng nếu ít nhất một trong hai giới hạn bên trái hoặc bên phải của hàm số khixax\to abằng±\pm \infty.

• Tiệm cận ngang (horizontal asymptote): Đường thẳngy=Ly=Llà tiệm cận ngang nếulimx+f(x)=L\lim_{x\to +\infty}f(x)=Lhoặclimxf(x)=L\lim_{x\to -\infty}f(x)=L.

• Tiệm cận xiên (oblique asymptote): Đường thẳngy=mx+by=mx+blà tiệm cận xiên nếulimx±[f(x)(mx+b)]=0.\lim_{x\to \pm \infty}\bigl[f(x)-(mx+b)\bigr]=0.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Chúng ta xét hàm sốf(x)=2x+3x1f(x)=\frac{2x+3}{x-1}

Bước 1: Xác định tiệm cận đứng. Giải phương trình mẫu bằng 0:x1=0\x=1x-1=0 \Rightarrow \x=1.

Kiểm tra giới hạn bên trái và bên phải:

limx1f(x)=\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,limx1+f(x)=+\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.

Vậyx=1x=1là tiệm cận đứng.

Bước 2: Xác định tiệm cận ngang. Tính giới hạn khix±x\to \pm \infty:

limx±2x+3x1=limx±2+3/x11/x=2\lim_{x\to \pm \infty}\frac{2x+3}{x-1}=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{2+3/x}{1-1/x}=2.

Vậy đường thẳngy=2y=2là tiệm cận ngang.

Ví dụ 2: Tiệm cận xiên với hàm số bậc cao

Xétf(x)=x2+1x1f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}. Thực hiện phép chia đa thức:x2+1x1=x+1+2x1.\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.

Ta có tiệm cận xiên dạngy=x+1y=x+1limx±[f(x)(x+1)]=limx±2x1=0.\lim_{x\to \pm \infty}\Bigl[f(x)-(x+1)\Bigr]=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{2}{x-1}=0.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Khi tử và mẫu cùng bậc: tiệm cận ngang tại hệ số cao nhất.

• Khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu hơn 1: không có tiệm cận ngang hay xiên.

• Khi có nhân tử hủy: phải rút gọn trước khi xác định tiệm cận đứng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khái niệm tiệm cận gắn chặt với giới hạn, đặc biệt giới hạn vô cùng và tại vô cùng. Ngoài ra, nhận biết tiệm cận xiên đòi hỏi phân tích phép chia đa thức, một kỹ năng cơ bản trong đại số. Hiểu tiệm cận hỗ trợ trong việc vẽ đồ thị hàm số và nghiên cứu sự biến thiên.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Xác định các tiệm cận của hàm số f(x)=3x22x21f(x)=\frac{3x^2-2}{x^2-1}.

Lời giải:

- Tiệm cận đứng: giảix21=0x=±1x^2-1=0 \Rightarrow x= \pm 1. Kiểm tra giới hạn vô cùng: thoả mãn nênx=±1x= \pm 1là tiệm cận đứng.

- Tiệm cận ngang: bậc tử và mẫu bằng nhau, hệ số bậc cao nhất là 3/1=33/1=3. Vậyy=3y=3.

Bài tập 2: Tìm tiệm cận xiên củaf(x)=x3+2xx21f(x)=\frac{x^3+2x}{x^2-1}.

Lời giải: Chia đa thức:x3+2xx21=x+x+2xx21=x+3xx21.\frac{x^3+2x}{x^2-1}=x+\frac{x+2x}{x^2-1}=x+\frac{3x}{x^2-1}.Vì phần dư bậc thấp hơn nên tiệm cận xiên là y=xy=x.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Bỏ sót việc kiểm tra giới hạn hai phía khi xác định tiệm cận đứng.

• Nhầm lẫn giữa tiệm cận ngang và tiệm cận xiên khi độ bậc tử = mẫu.

• Quên rút gọn trước khi giải phương trình mẫu.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Tiệm cận đứng: kiểm tra giới hạn vô cùng tạix=ax=a.

- Tiệm cận ngang: giới hạn tại vô cùng cho giá trị LL.

- Tiệm cận xiên: phép chia đa thức cho dạngy=mx+by=mx+bvà giới hạn phần dư về 0.

Nắm vững các bước này giúp việc nghiên cứu và vẽ đồ thị hàm số trở nên chính xác và nhanh chóng.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".