Bài 3. Phương trình mặt cầu: Lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập có lời giải

Giới thiệu chung về mặt cầu và vai trò trong chương trình toán học lớp 12

Trong chương trình toán học lớp 12, đặc biệt là trong chủ đề hình học không gian, khái niệm về mặt cầu và phương trình mặt cầu được nhấn mạnh như một phần kiến thức trọng tâm. Bài 3. Phương trình mặt cầu giúp học sinh hiểu và vận dụng để giải các bài toán về mặt cầu, các bài toán giao tuyến, đồng thời ứng dụng vào thực tiễn cũng như hỗ trợ giải quyết nhiều vấn đề hình học không gian cấp 3 và các kỳ thi quan trọng như thi THPT quốc gia.

Định nghĩa phương trình mặt cầu

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có khoảng cách đến một điểm cố định (tâm mặt cầu) bằng một hằng số không đổi (bán kính của mặt cầu).

Giả sử điểm$I(a; b; c)$là tâm của mặt cầu và $R > 0$là bán kính, thì phương trình mặt cầu có dạng:

$(x - a)$^2 +$(y - b)$^2 +$(z - c)$^2 = R^2

Trong đó:

• $(a; b; c)$: tọa độ tâm mặt cầu
• $R$: bán kính mặt cầu ($R > 0$)

Giải thích từng bước đi từ định nghĩa tới phương trình mặt cầu – Ví dụ minh họa

Giả sử mặt cầu$S$có tâm$I(2; -1; 3)$và bán kính$5$. Ta cần viết phương trình của mặt cầu$S$.

1. Bước 1: Gọi điểm$M(x; y; z)$là một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu. Theo định nghĩa,$IM = R$.
2. Bước 2: Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
3. $IM = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2} = 5$
4. Bước 3: Bình phương hai vế để loại dấu căn, ta được:$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25$

Vậy phương trình mặt cầu là:$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25$

Các dạng phương trình mặt cầu và lưu ý khi áp dụng

- Dạng chuẩn:$(x - a)$^2 +$(y - b)$^2 +$(z - c)$^2 = R^2

- Dạng khai triển (dạng tổng quát):

x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

Trong đó, nếu $d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2$thì mặt cầu có tâm$(-a; -b; -c)$, bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d} (lưu ý điều kiện$a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$để bán kính có nghĩa)$.

Một số trường hợp đặc biệt

• Nếu tâm mặt cầu trùng với gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$thì phương trình:$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$
• Nếu trong phương trình khai triển, hệ số $d$không thỏa mãn$a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$, thì đó không phải là mặt cầu thực (hoặc không có hình).

Phương trình mặt cầu và mối liên hệ với các kiến thức toán học khác

Phương trình mặt cầu liên kết chặt chẽ với các phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian, cũng như các khái niệm về hình học không gian như khoảng cách, vị trí tương đối, giao tuyến giữa mặt cầu và mặt phẳng, bài toán tiếp xúc, tiếp tuyến, hình nón, hình trụ,…

Các bài tập mẫu về phương trình mặt cầu (có lời giải)

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu$S$có tâm$I(1;2;3)$, bán kính$4$.

Giải:
Phương trình mặt cầu có dạng:$(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 16$

Ví dụ 2: Cho phương trình mặt cầu$x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 8z + 9 = 0$. Tìm tâm và bán kính mặt cầu.

Giải:
Chuyển về dạng chuẩn:$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + (z^2 - 8z) = -9$.
Hoàn thành bình phương:

$(x^2 - 4x) = (x-2)^2 - 4$
$(y^2 + 6y) = (y+3)^2 - 9$
$(z^2 - 8z) = (z-4)^2 - 16$

Cộng lại:
$(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 + (z-4)^2 - 16 = -9$
$(x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-4)^2 = 20$
Vậy tâm: $I(2; -3; 4)$, bán kính $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm$A(1;2;3)$,$B(2;-1;5)$,$C(-1;0;2)$và có tâm nằm trên mặt phẳng$x + y + z = 1$.

Giải:
Gọi tâm mặt cầu là $I(a;b;c)$, bán kính$R$.
Vì $M$thuộc mặt cầu, nên$IA = IB = IC = R$:

$(a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2 = (a-2)^2 + (b+1)^2 + (c-5)^2$
$(a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2 = (a+1)^2 + (b-0)^2 + (c-2)^2$

Đồng thời,$a + b + c = 1$(do I nằm trên mặt phẳng cho trước).

Ta giải hệ phương trình (chi tiết giải hệ dành cho học sinh nâng cao thử sức).

Những lỗi thường gặp và cách tránh khi giải toán về phương trình mặt cầu

• Quên bình phương hai vế khi chuyển từ định nghĩa sang phương trình.
• Nhầm lẫn dấu khi khai triển phương trình (dễ sai dấu trừ khi hoàn thành bình phương).
• Sai điều kiện về bán kính: Phải đảm bảo$R > 0$, hoặc$a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$trong dạng tổng quát.
• Nhầm giữa mặt cầu với phương trình khác trong không gian (mặt phẳng, mặt nón, hình trụ, …)

Tóm tắt lý thuyết và các điểm cần nhớ về phương trình mặt cầu

• Dạng chuẩn:$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$
• Dạng khai triển:$x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$
• Tâm mặt cầu:$(a; b; c)$, bán kính:$R$
• Nhận diện sai lầm thường gặp để tránh khi giải.
• Thường xuyên luyện tập các bài tập dạng cơ bản, nâng cao và bài toán có liên hệ tới giao tuyến, mặt phẳng, ... để hiểu sâu bản chất.