1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của khảo sát hàm số cơ bản

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là một trong những nội dung cốt lõi của chương trình Giải tích 12. Việc thành thạo kỹ năng này giúp học sinh hiểu sâu về tính chất của hàm số, từ đó áp dụng trong giải các dạng bài toán liên quan đến cực trị, tiệm cận, và tích phân dưới đồ thị. Khóa sát đồ thị không chỉ là công cụ trực quan mà còn là cơ sở để phát triển tư duy phân tích và tổng hợp.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

Khảo sát hàm số là quy trình xác định đầy đủ các tính chất cơ bản của hàm số $f(x)$gồm:

• Tập xác định$D$.
• Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cục bộ – toàn cục.
• Đơn điệu: tăng hoặc giảm trên các khoảng.
• Tiệm cận (đứng, ngang, xiên).
• Điểm uốn (nếu có).

Sau khi có đầy đủ thông tin, ta vẽ đồ thị bằng cách xác lập các điểm đặc biệt và hình dạng chung.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định tập xác định

Ví dụ 1:$f(x)=x^2-2x+1$. Hàm đa thức nên tập xác định$D= \,\mathbb{R}$.

Bước 2: Tính đạo hàm và khảo sát đơn điệu

Ta có $f'(x)=2x-2ext{.}$Giải$f'(x)=0 \Rightarrow x=1$.

Lập bảng biến thiên:

x: \quad (-\infty) \quad 1 \quad (+\infty)

f'(x): \quad - \quad 0 \quad +

f(x): \text{giảm} \to \text{cực tiểu}(1; f(1)= -0) \to \text{tăng}

Bước 3: Tính giới hạn và tiệm cận

Với đa thức bậc hai, không có tiệm cận đứng hay ngang. Với hàm phân thức như $g(x)=\frac1x$, ta có tiệm cận đứng$x=0$và tiệm cận ngang$y=0$.

Bước 4: Xác định giao điểm với trục

Giải$f(x)=0$cho ví dụ 1:$x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0 \Rightarrow x=1$. Giao tại$(1,0)$.

Bước 5: Vẽ đồ thị

Dựa vào các điểm: đỉnh$(1,0)$, hướng mở lên, không có tiệm cận, ta phác thảo parabol.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Hàm chứa tham số: chú ý khảo sát tham số để xác định số nghiệm của$f'(x)=0$.
• Hàm hợp: cần sử dụng quy tắc đạo hàm chuỗi.
• Hàm vô tỉ hoặc chứa căn: xác định điều kiện dưới dấu căn trước.
• Hàm mũ và logarit: tính giới hạn bằng quy tắc L’Hôpital khi gặp dạng$\frac{0}{0}$hoặc$\frac{\infty}{\infty}$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Tích phân: diện tích hình dưới đồ thị.
• Phương trình vi phân: nghiệm và đồ thị nghiệm.
• Hình học tọa độ: vị trí tương đối giữa đồ thị và đường thẳng.
• Toán ứng dụng: mô hình hóa thực tế (đường cong tăng trưởng, đường cong hồi quy).

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

Giải chi tiết:
• Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
• Rút gọn: $f(x)=x+1, x<br>eq1$.
• Tiệm cận đứng: $x=1$. Tiệm cận ngang: không có vì $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$.
• Đạo hàm: $f'(x)=1>0$với mọi$x<br>eq1$nên hàm luôn tăng.
• Giao với trục hoành:$f(x)=0 \Rightarrow x=-1$.
• Vẽ: đường thẳng $y=x+1$tách 2 nhánh tại$x=1$.

Bài 2. Khảo sát và vẽ đồ thị $g(x)=e^{-x^2}$

Giải chi tiết:
•$D=\,\mathbb{R}$.
•$g'(x)=e^{-x^2}(-2x)$, nghiệm duy nhất$x=0$; tăng trên$(-\infty,0)$, giảm trên$(0,\infty)$.
• Giới hạn:$\lim_{x\to \pm \infty}g(x)=0$, tiệm cận ngang$y=0$.
• Đỉnh tại$(0,1)$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên xác định điều kiện tập xác định dẫn đến sai kết luận.
• Nhầm lẫn dấu khi khảo sát dấu của$f'(x)$.
• Bỏ sót tiệm cận xiên: khi$\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax-b)=L$tồn tại.
• Vẽ sai dạng parabol, mũ, logarit do không lưu ý tính chất đối xứng hoặc vị trí tiệm cận.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Quy trình khảo sát: xác định$D$→ tính giới hạn và tiệm cận → đạo hàm và đơn điệu → cực trị → giao điểm → vẽ đồ thị.
• Luôn viết đầy đủ bước, phân tích cẩn thận từng tính chất.
• Sử dụng LaTeX để trình bày công thức rõ ràng.
• Luyện tập đa dạng các dạng hàm để nắm vững phương pháp.