1. Giới thiệu về "Bài tập cuối chương II" Toán 12 và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, chương II "Vectơ và hệ tọa độ trong không gian" giữ vai trò quan trọng, giúp học sinh làm quen với tư duy không gian, diễn đạt các yếu tố hình học bằng phương pháp tọa độ. Các "Bài tập cuối chương II" không chỉ là bước kiểm tra lại kiến thức trọng tâm mà còn củng cố kỹ năng giải các bài toán hình học không gian, làm nền tảng vững chắc cho các bài tập phức tạp hơn ở các kỳ thi THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa chính xác của "Bài tập cuối chương II"

"Bài tập cuối chương II" là tập hợp các bài toán tổng hợp, bao quát toàn bộ kiến thức về vectơ, tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, mặt phẳng, và quan hệ hình học trong không gian. Những bài tập này giúp học sinh ôn lại, vận dụng linh hoạt lý thuyết vào thực tiễn giải toán, đồng thời phát triển kỹ năng phân tích, tổng hợp và tư duy hình học không gian.

3. Giải thích từng bước các vấn đề chính qua ví dụ minh họa

Bài tập cuối chương II thường tập trung vào các dạng sau:

• Tìm tọa độ điểm, độ dài đoạn thẳng, trung điểm, trọng tâm tam giác, v.v.
• Lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng qua các điều kiện cho trước.
• Tính góc giữa hai vectơ, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, v.v.
• Tìm giao điểm giữa các đối tượng hình học trong không gian.
• Chứng minh các tính chất đồng phẳng, vuông góc, song song.

Ví dụ minh họa:

Cho$A(1,2,3)$,$B(4,1,0)$,$C(2,3,5)$. Hãy tìm tọa độ trọng tâm$G$của tam giác$ABC$.

Giải:

Trọng tâm$G$của tam giác$ABC$có tọa độ:

$\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$

Suy ra:$G\left( \frac{1+4+2}{3}, \frac{2+1+3}{3}, \frac{3+0+5}{3} \right) = G(2.33, 2,<br />2.67)$.

Tương tự, các loại bài tập khác cũng yêu cầu áp dụng đúng định nghĩa, công thức và biến đổi tọa độ.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Đối với bài toán hình học không gian, cần xác định rõ vị trí các điểm, thứ tự trình bày các bước suy luận. - Chú ý điều kiện đặc biệt như: ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng, hoặc các đối tượng vuông góc, song song.
- Không bỏ qua xác định tọa độ gốc, kiểm tra điều kiện của chỉ số khi tính toán vectơ hoặc phương trình mặt phẳng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

"Bài tập cuối chương II" liên hệ chặt chẽ với các kiến thức đại số vectơ, hình học phẳng (Chương I), phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Nó làm cơ sở cho các chủ đề về mặt cầu, hình chóp, hình lăng trụ, thể tích khối đa diện, đồng thời là công cụ để giải quyết các bài toán ứng dụng thực tế trong vật lý, kỹ thuật.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng$(P)$ đi qua điểm$A(1,2,3)$và vuông góc với vectơ $\vec{n} = (2,-1,4)$.

Lời giải: Phương trình mặt phẳng có dạng:
2$(x-1)$- 1$(y-2)$+ 4$(z-3)$= 0 Hay: 2x - y + 4z = 12

Bài 2: Tìm góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1,2,3)$và $\vec{v} = (4,-2,1)$.

Lời giải: Công thức tính góc:
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}||\,||\vec{v}||}$
Tính tích vô hướng: $1 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 = 4-4+3=3$
Độ dài: $||\vec{u}|| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14}$, $||\vec{v}||=\sqrt{4^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{21}$
Suy ra: $\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}}$

Bài 3: Chứng minh ba điểm$A(1,2,3)$,$B(2,4,6)$,$C(3,6,9)$thẳng hàng.

Lời giải: Tính các vectơ $\vec{AB} = (1,2,3)$,$\vec{AC} = (2,4,6)$. Do$\vec{AC} = 2\vec{AB}$nên ba điểm thẳng hàng.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn thứ tự điểm khi tính vectơ (ví dụ:$\vec{AB} <br> \neq \vec{BA}$).
• Quên kiểm tra kết quả bằng cách thay ngược.​
• Sai sót trong tính toán căn, bình phương, dấu âm.​
• Không xác định rõ các điều kiện khi lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng.​

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hiểu rõ bản chất vectơ, phép tính tọa độ, quan hệ hình học cơ bản là chìa khóa giải quyết hiệu quả các bài tập cuối chương II. - Ứng dụng linh hoạt các công thức, luôn kiểm tra lại đáp số - Tập trung vào trình bày logic, lập luận rõ ràng, tránh nhầm lẫn khi chuyển đổi các đại lượng hình học sang dạng toán học.