Bài Tập Cuối Chương VI: Xác Suất Có Điều Kiện – Lý Thuyết, Dạng Bài, Và Cách Giải

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của "Bài tập cuối chương VI"

Sau khi hoàn thành Chương VI – Xác suất có điều kiện, các em học sinh lớp 12 sẽ đến với "Bài tập cuối chương VI" với nhiều dạng bài quan trọng. Bài tập tổng kết này giúp củng cố và kiểm tra toàn diện kiến thức về xác suất, đặc biệt là xác suất có điều kiện, biến cố độc lập, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Những kiến thức này cực kỳ quan trọng không chỉ đối với các kỳ kiểm tra, thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, mà còn là nền tảng vững chắc cho các khối ngành Kinh tế, Kỹ thuật, Khoa học máy tính ở bậc đại học sau này.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện của biến cố $A$khi biết biến cố $B$ đã xảy ra (ký hiệu$P(A|B)$) là xác suất xảy ra của biến cố $A$trong không gian mẫu bị thu hẹp lại chỉ còn những phần mà $B$ đã xảy ra.

Công thức xác suất có điều kiện:

Trong đó:

• $P(A \cap B)$là xác suất đồng thời xảy ra cả $A$và $B$
• $P(B)$là xác suất xảy ra của biến cố $B$,$P(B) > 0$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ: Trong một túi có 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 2 quả cùng lúc. Tính xác suất để cả 2 quả lấy được đều màu đỏ, biết rằng ít nhất có 1 quả màu đỏ.

1. Bước 1: Gọi$A$là biến cố "lấy được 2 quả đỏ";$B$là "lấy được ít nhất 1 quả đỏ".
2. Bước 2: Tính$P(A \cap B)$. Rõ ràng, nếu lấy được 2 quả đỏ thì chắc chắn thỏa mãn ít nhất 1 đỏ, nên$A \cap B = A$. Tức là $P(A \cap B) = P(A)$.
3. Bước 3: Tính$P(B)$. Số cách lấy 2 quả bất kỳ:$\mathrm{C}_5^2 = 10$. Số cách lấy 2 quả đều không đỏ (tức cả 2 xanh) là $\mathrm{C}_2^2 = 1$nên số cách có ít nhất 1 đỏ là $10 - 1 = 9$. Vậy$P(B) = \frac{9}{10}$.
4. Bước 4: Tính$P(A)$. Số cách lấy 2 quả đỏ:$\mathrm{C}_3^2 = 3$, vậy$P(A) = \frac{3}{10}$.
5. Bước 5: Vậy$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3/10}{9/10} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{1}{3}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu$A$và $B$là hai biến cố độc lập thì $P(A|B) = P(A)$.
• Thường xuyên gặp việc phải xác định chính xác không gian mẫu mới (khi đã biết$B$xảy ra) trước khi tính toán.
• Nếu$P(B) = 0$thì $P(A|B)$không xác định.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Xác suất có điều kiện liên quan mật thiết với các công thức tổng quát khác trong chương, như:

• - Công thức xác suất toàn phần:
• $P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \ldots + P(B_n)P(A|B_n)$
• - Công thức Bayes:
• $P(B_i|A) = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}$

Ngoài ra, xác suất có điều kiện là nền tảng để hiểu sâu hơn về liên hệ giữa các biến cố độc lập, các biến cố rời nhau và phân phối xác suất trong thống kê.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Một hộp có 4 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. a) Tính xác suất để lấy được đúng 1 viên đỏ. b) Biết rằng lấy được ít nhất 1 viên đỏ, tính xác suất để hai viên lấy ra đều đỏ.

Lời giải:

1. Số cách lấy 2 viên bất kỳ:$C_{10}^2 = 45$.
2. a) Số cách lấy 1 đỏ, 1 xanh:$C_4^1 \times C_6^1 = 4 \times 6 = 24$nên$P(A) = \frac{24}{45}$.
3. b) Gọi$B$là "lấy được ít nhất 1 viên đỏ". Số cách chỉ lấy xanh:$C_6^2 = 15$, nên$P(B) = \frac{45 - 15}{45} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$.
4. Số cách lấy cả 2 đỏ:$C_4^2 = 6$,$P(A \cap B) = P($lấy 2 đỏ $) = \frac{6}{45}$.
5. $P($lấy 2 đỏ $|$ít nhất 1 đỏ$) = \frac{6/45}{30/45} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

Bài 2: Một lớp học có 12 bạn nam và 8 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để chọn được đúng 2 nam và 1 nữ, biết rằng trong 3 học sinh chọn ra có ít nhất 1 nữ.

Lời giải:

1. Số cách chọn 3 học sinh:$C_{20}^3 = 1140$.
2. Số cách chọn 2 nam, 1 nữ:$C_{12}^2 \times C_8^1 = 66 \times 8 = 528$.
3. Số cách chọn 3 học sinh có ít nhất 1 nữ: Số cách chỉ chọn nam là $C_{12}^3 = 220$, vậy tổng số cách là $1140-220=920$.
4. Vậy$P($chọn 2 nam, 1 nữ $|$ít nhất 1 nữ$) = \frac{528}{920} = \frac{33}{57.5} \approx 0.57$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Không xác định đúng biến cố $A$,$B$và mối quan hệ giữa chúng.
• Quên loại trừ trường hợp "không đủ điều kiện" (tức là lấy toàn bộ không gian mẫu, không loại các trường hợp không phù hợp cho$B$).
• Nhập nhằng giữa$P(A \cap B)$và $P(A|B)$hoặc nhầm lẫn giữa xác suất đồng thời và xác suất có điều kiện.
• Để tránh lỗi: luôn vẽ sơ đồ, xác định không gian mẫu mới khi biết điều kiện xảy ra, và đọc kỹ đề.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Xác suất có điều kiện là công cụ cực kỳ quan trọng khi làm bài tập xác suất.
• Luôn xác định đúng biến cố và không gian mẫu trong điều kiện đã biết.
• Gắn kết rõ ràng giữa lý thuyết và thực hành thông qua các ví dụ minh họa.
• Nắm vững các công thức mở rộng như xác suất toàn phần, định lý Bayes để giải quyết nhiều dạng bài tập khó hơn.

Hy vọng qua bài viết này, các em học sinh lớp 12 đã nắm vững bản chất, phương pháp giải và các mẹo làm bài tập cuối chương VI về xác suất có điều kiện để tự tin chinh phục mọi đề thi.