Bài toán kiểm tra chất lượng: Khái niệm, hướng dẫn và bài tập mẫu cho học sinh lớp 12

Giới thiệu về bài toán kiểm tra chất lượng trong Toán lớp 12

Trong thực tế sản xuất và đời sống, kiểm tra chất lượng sản phẩm, hàng hóa hay dữ liệu là một quá trình rất quan trọng. Ở Toán lớp 12, khái niệm "bài toán kiểm tra chất lượng" thường xuất hiện trong chương Xác suất và Thống kê, giúp học sinh biết vận dụng tư duy xác suất để đánh giá tính tin cậy hoặc phát hiện lỗi trong một tập hợp các đối tượng. Bài toán này không chỉ xuất hiện nhiều trong đề thi, mà còn có ứng dụng cao đối với mọi ngành nghề trong xã hội hiện đại.

Định nghĩa chính xác bài toán kiểm tra chất lượng

Bài toán kiểm tra chất lượng là dạng bài toán xác suất, trong đó một tập hợp lớn các đối tượng (sản phẩm, linh kiện, phiếu trả lời, …) chứa một số lượng xác định các phần tử không đạt chuẩn (hỏng, nhiễm lỗi). Bằng cách lấy ra ngẫu nhiên một số phần tử để kiểm tra, ta xác định xác suất để kiểm tra phát hiện hoặc không phát hiện được sản phẩm lỗi, hoặc xác suất các mẫu kiểm tra đều đạt chất lượng.

Nói cách khác: Bài toán kiểm tra chất lượng là bài toán tính xác suất chọn được, hoặc không chọn được, sản phẩm lỗi khi lấy ngẫu nhiên một số mẫu từ một lô hàng đã biết tổng số và số lượng sản phẩm lỗi.

Các bước giải bài toán kiểm tra chất lượng

Để giải bài toán này, ta thường tiến hành các bước:

• Bước 1: Xác định tổng số phần tử ($N$), số phần tử lỗi ($k$), số lượng phần tử lấy ra kiểm tra ($n$).
• Bước 2: Xác định yêu cầu của đề bài: Tìm xác suất không phát hiện sản phẩm lỗi, phát hiện ít nhất một sản phẩm lỗi, v.v.
• Bước 3: Vận dụng kiến thức về tổ hợp (chủ yếu là tổ hợp chập$k$của$n$, ký hiệu$C_n^k$hoặc$\mathrm{C}_n^k$) để đếm số trường hợp thuận lợi và số trường hợp có thể.
• Bước 4: Tính xác suất theo công thức cơ bản: P = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp có thể}}

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 5 sản phẩm bị lỗi. Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra, hỏi xác suất để trong 10 sản phẩm đó không có sản phẩm nào bị lỗi là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

• Tổng số cách chọn 10 sản phẩm bất kỳ từ 100 sản phẩm là:$C_{100}^{10}$
• Số cách chọn 10 sản phẩm không lỗi:$C_{95}^{10}$(vì có 95 sản phẩm không lỗi)
• Vậy xác suất cần tìm là:$P = \frac{C_{95}^{10}}{C_{100}^{10}}$

Ví dụ 2: Vẫn lô hàng trên, xác suất để trong 10 sản phẩm chọn ra có ít nhất 1 sản phẩm bị lỗi?

Cách 1: Lấy$1 - P'$với$P'$là xác suất không có sản phẩm nào lỗi (tính ở ví dụ 1).

• Vậy xác suất là:$P = 1 - \frac{C_{95}^{10}}{C_{100}^{10}}$

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi làm bài

1. Nếu số sản phẩm lỗi gần bằng tổng số sản phẩm, xác suất phát hiện lỗi sẽ rất cao.
2. Nếu số mẫu kiểm tra lớn hơn số sản phẩm lỗi, nên xét trường hợp chọn hết sản phẩm lỗi.
3. Khi đề bài yêu cầu xác suất phát hiện chính xác$m$sản phẩm lỗi trong mẫu, phải xét số cách chọn$m$sản phẩm lỗi và $(n-m)$sản phẩm tốt.

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Bài toán kiểm tra chất lượng là ứng dụng thực tế của xác suất cổ điển, vận dụng tổ hợp và biến cố trong xác suất. Nó có mối liên hệ chặt chẽ với bài toán bốc thăm, lấy mẫu không hoàn lại, bài toán xác suất có điều kiện, và ứng dụng vào thống kê kiểm định.

$C_{95}^{10}$ ) so với tổng số cách chọn 10 sản phẩm từ 100 sản phẩm ( $C_{100}^{10}$ ), thể hiện xác suất undefined C_{95}^{10} $) so với tổng số cách chọn 10 sản phẩm từ 100 sản phẩm ($ C_{100}^{10} $), thể hiện xác suất$ P=\dfrac{C_{95}{" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Một kho linh kiện có 200 sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm bị lỗi. Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để phát hiện được tối thiểu 1 sản phẩm lỗi.

Lời giải:

• Tổng số cách chọn 5 sản phẩm:$C_{200}^5$
• Số cách chọn 5 sản phẩm đều không lỗi:$C_{192}^5$
• Xác suất không có sản phẩm nào lỗi:$P_0 = \frac{C_{192}^5}{C_{200}^5}$
• Xác suất có ít nhất 1 sản phẩm lỗi:$P = 1 - P_0 = 1 - \frac{C_{192}^5}{C_{200}^5}$

Bài tập 2: Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 3 bạn làm sai bài tập. Lấy ngẫu nhiên 4 bài để kiểm tra. Tính xác suất chọn được chính xác 2 bài làm sai.

Lời giải:

• Số cách chọn 2 bạn làm sai:$C_{3}^2$
• Số cách chọn 2 bạn làm đúng:$C_{27}^2$
• Số cách chọn 4 bài bất kỳ:$C_{30}^4$
• Vậy xác suất là:$P = \frac{C_{3}^2 \cdot C_{27}^2}{C_{30}^4}$

Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên trừ trường hợp không có sản phẩm lỗi (khi đề hỏi "ít nhất 1 sản phẩm lỗi").
• Nhầm giữa chọn có hoàn lại (tổ hợp lặp) và không hoàn lại.
• Không xác định đúng tổng số phần tử và số phần tử lỗi.
• Sử dụng sai công thức tổ hợp (hoặc ký hiệu$C_n^k$).

Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Bài toán kiểm tra chất lượng là ứng dụng thực tế của xác suất tổ hợp.
• Các bước giải gồm: xác định số phần tử, xác định yêu cầu đề, sử dụng tổ hợp, tính xác suất.
• Cần nắm rõ công thức và phương pháp đếm chính xác để tránh sai sót.
• Kết hợp kiến thức xác suất với các khái niệm khác như xác suất có điều kiện, biến cố, và thống kê.