Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về "Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị"

Trong chương trình toán học lớp 12, đặc biệt ở phần khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm, "biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị" là một chủ đề rất quan trọng. Đây là kỹ năng không chỉ giúp các em giải quyết hiệu quả các bài tập liên quan đến phương trình mà còn phát triển tư duy trực quan và logic thông qua việc sử dụng đồ thị.

Việc biện luận số nghiệm bằng đồ thị sẽ giúp các em không chỉ biết phương trình có nghiệm hay không mà còn hiểu rõ khi nào nghiệm tồn tại, khi nào nghiệm trùng, khi nghiệm thay đổi theo tham số,... Chính vì thế, đây là công cụ không thể thiếu trong quá trình học và ôn thi THPT Quốc gia.

2. Khái niệm và định nghĩa

Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị là việc sử dụng đồ thị hàm số (hoặc các đồ thị hàm số) để xác định số lượng nghiệm thực của phương trình, phụ thuộc vào các tham số hoặc biến đổi của hàm số.

Nói cách khác, ta khảo sát vị trí tương đối giữa đường biểu diễn của hai hàm số (hoặc giữa đồ thị hàm số và một đường thẳng, hoặc trục hoành) để xác định số giao điểm, từ đó biết được số nghiệm của phương trình.

3. Các bước biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị kèm ví dụ

Giả sử chúng ta có phương trình dạng$f(x) = g(x)$. Muốn biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng hàm số tương đương

Chúng ta đưa phương trình về một trong các dạng sau:

$f(x) = k$với$k$là tham số; hoặc$f(x) = g(x)$với hai hàm số cho trước.

Bước 2: Vẽ đồ thị các hàm số liên quan

Tùy từng bài, vẽ đồ thị của$y = f(x)$và $y = k$(hoặc$y = g(x)$). Nếu không thể vẽ chính xác, cần nắm được đặc điểm, hình dạng cơ bản của các đồ thị này.

Bước 3: Xác định vị trí tương đối của các đồ thị

Tiếp theo, dùng kiến thức về hình học và khảo sát hàm số để xem hai đồ thị cắt nhau tại mấy điểm, mỗi giao điểm ứng với một nghiệm thực của phương trình.

Bước 4: Biện luận số nghiệm theo từng giá trị của tham số

Xét từng trường hợp riêng biệt của tham số (nếu có), tìm điều kiện để số giao điểm (tức là số nghiệm) thay đổi, giải thích rõ ràng bằng lý luận và đồ thị.

Ví dụ minh họa 1: Biện luận số nghiệm phương trình$x^2 = m$theo$m$

Phương trình$x^2 = m$tương đương với việc tìm hoành độ giao điểm của đồ thị $y = x^2$và $y = m$(đường thẳng song song trục hoành).

- Nếu$m > 0$: Đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm, phương trình có 2 nghiệm.
- Nếu$m = 0$: Đường thẳng tiếp xúc parabol tại$x = 0$, phương trình có 1 nghiệm kép$x = 0$.
- Nếu$m < 0$: Đường thẳng không cắt parabol, phương trình vô nghiệm.

Ví dụ minh họa 2: Biện luận số nghiệm phương trình$x^3 - 3x + 2 = m$theo$m$

Ta vẽ đồ thị hàm$y = x^3 - 3x + 2$và khảo sát vị trí tương đối với$y = m$(đường thẳng song song trục hoành). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số để xác định các giá trị $m$mà phương trình có số nghiệm khác nhau.

- Lập đạo hàm:$y' = 3x^2 - 3$, cho$y' = 0$, suy ra$x = 1$hoặc$x = -1$.
- Tìm giá trị tại$x = 1$:$y(1) = 1 - 3 + 2 = 0$.
- Tại$x = -1$:$y(-1) = -1 + 3 + 2 = 4$.
- Lấy giới hạn khi$x \to \pm \infty$:$y \to \pm \infty$.
- => Đồ thị đi lên vô hạn hai phía, đạt giá trị lớn nhất là $4$tại$x = -1$, nhỏ nhất là $0$tại$x = 1$.

Suy ra:
- Với$m < 0$hoặc$m > 4$: PT có 1 nghiệm thực.
- Với$m = 0$hoặc$m = 4$: PT có 2 nghiệm thực (tương ứng với điểm tiếp xúc).
- Với$0 < m < 4$: PT có 3 nghiệm thực (đồ thị cắt$y = m$tại 3 điểm).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu phương trình có dạng$f(x) = g(x)$thì đưa về dạng$f(x) - g(x) = 0$, khảo sát hàm$h(x) = f(x) - g(x)$.
- Nếu có nhiều tham số, cần xét các trường hợp tham số đặc biệt (ví dụ: trùng nghiệm, nghiệm kép...).
- Nếu đồ thị khó vẽ, cần dùng thêm kiến thức đạo hàm để xác định cực trị, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất, tính đơn điệu.
- Hạn chế vẽ nhầm hình dạng đồ thị hoặc bỏ sót trường hợp tiếp xúc.
- Với hàm số bậc nhất, bậc hai, bậc ba, các phương pháp đều dễ áp dụng. Với hàm phức tạp hơn có thể cần bổ sung các công cụ giải tích như khảo sát đạo hàm.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Liên quan chặt chẽ với khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
- Dùng kỹ năng giải phương trình, bất phương trình.
- Sử dụng chuyên sâu kiến thức về đạo hàm, cực trị, tính đơn điệu, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất.
- Ứng dụng nhiều trong giải toán thực tiễn và các kì thi lớn.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Biện luận số nghiệm thực của phương trình$x^2 - 2x + 1 = m$theo$m$

PT tương đương $(x-1)^2 = m$. Vẽ parabol $y = (x-1)^2$và đường thẳng$y = m$.
- Nếu $m < 0$: vô nghiệm.
- Nếu $m = 0$: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$— có duy nhất 1 nghiệm kép.
- Nếu$m > 0$: $x - 1 = \pm \sqrt{m} \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{m}$ — có 2 nghiệm phân biệt.

Bài tập 2: Biện luận số nghiệm thực của phương trình$x^4 - 4x^2 + m = 0$theo$m$

Đặt $f(x) = x^4 - 4x^2$. Vẽ đồ thị $y = f(x)$và $y = -m$hoặc đưa về $f(x) = -m$.
Tìm giá trị cực trị bằng đạo hàm:
$f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)$.
=> $f'(x)=0$: $x=0, \pm \sqrt{2}$.
- $f(0)=0$, $f( \pm \sqrt{2})= (2^2) - 4 \times 2 = 4 - 8 =-4$

- Nếu$m< -4$:$x^4 - 4x^2 = -m > 4$=> PT có 2 nghiệm thực.
- Nếu$m = -4$: PT có 3 nghiệm thực (tại cực trị).
- Nếu$-4 < m < 0$: PT có 4 nghiệm thực.
- Nếu$m=0$: PT có 3 nghiệm thực (do$x=0$là nghiệm bội).
- Nếu$m > 0$: PT có 2 nghiệm thực.

7. Lỗi thường gặp và cách tránh

- Không khảo sát đủ các trường hợp đặc biệt của tham số, bỏ sót tiếp điểm.
- Vẽ sai dạng đồ thị (đặc biệt là khi chưa khảo sát đạo hàm, cực trị...)
- Bỏ quên một số miền xác định của hàm số khi tham số làm thay đổi miền xác định.
- Nhầm lẫn số giao điểm với số nghiệm trong trường hợp nghiệm phức hoặc nghiệm lặp.

8. Tóm tắt kiến thức và điểm chính cần nhớ

- Biện luận số nghiệm bằng đồ thị là sử dụng việc xác định giao điểm đồ thị để suy ra số nghiệm thực của phương trình.
- Quy trình chuẩn: Chuyển về dạng$f(x) = g(x)$\to$vẽ/nhận xét vị trí đồ thị$\to$xác định số giao điểm/điều kiện tham số$\to$biện luận số nghiệm.
- Luôn chú ý các giá trị tại cực trị, điểm đặc biệt của đồ thị.
- Cần vận dụng phối hợp kỹ năng khảo sát hàm số, vẽ đồ thị, sử dụng đạo hàm, tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất.