Giới thiệu về biểu diễn hàm số trong không gian Oxyz

Trong chương trình Toán lớp 12, khái niệm biểu diễn hàm số trong không gian Oxyz đóng vai trò quan trọng, giúp chúng ta hình dung trực quan các bề mặt (surface) do hàm số hai biến tạo thành. Việc nắm vững nội dung này không chỉ hỗ trợ tốt cho học phần hình học không gian mà còn là nền tảng để tìm hiểu các chủ đề nâng cao như tích phân hai lớp, đạo hàm riêng và ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật.

Bài viết này sẽ cung cấp cho học sinh lớp 12 một cái nhìn tổng quan, định nghĩa rõ ràng, ví dụ minh họa, bài tập mẫu kèm lời giải, cũng như các lưu ý và lỗi thường gặp khi biểu diễn hàm số trong không gian.

Định nghĩa khái niệm

Cho một hàm số hai biến $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Biểu diễn hàm số trong không gian Oxyz chính là tập hợp tất cả các điểm $(x,y,z)$ thỏa mãn:

$z = f(x,y),\quad (x,y) \in D.$

Tập hợp đó gọi là đồ thị (surface) của hàm số $f$trong không gian ba chiều.

Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định miền xác định$D$của hàm số $f(x,y)$.

Bước 2: Viết phương trình bề mặt dưới dạng$z=f(x,y)$.

Bước 3: Phác họa hình học bề mặt bằng cách phân tích tiết diện và tính chất cơ bản.

Ví dụ 1: Hàm số $f(x,y)=x^2+y^2$với$D=\mathbb{R}^2$.

– Phương trình bề mặt:$z = x^2 + y^2.$

– Đây là paraboloid tròn (paraboloid xoay). Mỗi tiết diện cắt song song với mặt phẳng$Oxz$cho đồ thị $z=x^2+c^2$(với$y=c$), còn tiết diện cắt song song với mặt phẳng$Oyz$cho đồ thị $z=y^2+c^2$(với$x=c$).

– Đứng từ trên cao nhìn xuống, đường bao bề mặt là các đường tròn$x^2+y^2=r^2$ ứng với$z=r^2$.

Ví dụ 2: Hàm số $f(x,y)=ax+by+c$với$D=\mathbb{R}^2$,$a,b,c$là hằng số.

– Phương trình bề mặt:$z = ax + by + c.$

– Đây là mặt phẳng trong không gian. Tiết diện khi$y=y_0$cho đường thẳng$z=ax + b y_0 + c$, khi$x=x_0$cho$z=a x_0 + by + c$.

Ví dụ 3: Hàm số $f(x,y)=\sqrt{4 - x^2 - y^2}$với$D: x^2+y^2\le4$.

– Phương trình bề mặt: $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2},\quad x^2+y^2\le4.$

– Đây là nửa mặt cầu bán kính 2 nằm phía trên mặt phẳng$Oxy$.

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

1. Hàm số không xác định trên một số điểm khiến bề mặt bị “khoét lỗ” hay không liên tục. Ví dụ hàm$f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}$không xác định tại$(0,0)$.

2. Nếu hàm số nhận giá trị âm, bề mặt có thể nằm dưới mặt phẳng$Oxy$.

3. Khi phác họa, nên xác định thêm: điểm đặc biệt (đỉnh, tâm đối xứng), hướng tiếp tuyến, độ lõm, độ lồi.

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

– Giải tích đa biến: đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, gradient giúp phân tích cực trị và đường tiếp tuyến bề mặt.

– Tích phân hai lớp: tính thể tích khối dưới bề mặt$z=f(x,y)$trên miền$D$bằng$V=\iint\limits_D f(x,y)\,dx\,dy.$

– Hình học không gian: giao tuyến của bề mặt với các mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng tiếp xúc.

Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm số $f(x,y)=2x^2 - y^2 +4$. Vẽ tiết diện bề mặt khi$y=1$và $x=2$, và xác định hình dạng chung của bề mặt.

Lời giải:

- Khi$y=1$,$z=2x^2 -1 +4 =2x^2 +3,$là parabol mở lên (đường tiết diện trong mặt phẳng song song$Oxz$).

- Khi$x=2$,$z=8 - y^2 +4 =12 -y^2,$là parabol úp xuống (trong mặt phẳng song song$Oyz$).

- Do có dấu đối xứng trái/phải theo$Ox$và trên/dưới theo$Oy$, bề mặt là hyperboloid một nhánh.

Bài tập 2: Xác định hình bề mặt của hàm$f(x,y)=\ln\,(x^2+y^2),\quad x^2+y^2>0.$

Lời giải:

- Miền xác định:$D=\{(x,y):x^2+y^2>0\}$.

- Phương trình:$z=\ln(x^2+y^2).$Khi$x^2+y^2\to0^+$,$z\to-\infty$; khi$x^2+y^2\to+\infty$,$z\to+\infty$. Các tiết diện là đường cong logarit xoay.

Các lỗi thường gặp và cách tránh

1. Nhầm lẫn miền xác định dẫn đến vẽ bề mặt sai hoặc bỏ sót vùng não xác định.

2. Không xét tiết diện cơ bản gây khó khăn khi hình dung hình dạng chung.

3. Bỏ qua dấu của giá trị hàm, dẫn đến phác họa bề mặt nằm sai phía trên/dưới$Oxy$.

Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Biểu diễn hàm số hai biến trong không gian Oxyz thông qua phương trình$z=f(x,y).$

- Xác định miền$D$, phân tích tiết diện và tính chất: đỉnh, trục đối xứng, chiều lõm/lồi.

- Liên hệ với đạo hàm riêng, tích phân hai lớp và các phần kiến thức khác để ứng dụng sâu hơn.